loj6295. 无意识之外的捉迷藏

题意

略。

题解

神仙纳什均衡。
首先，这张图是个有向无环图，大大简化了问题。
为了方便，我们将追捕者叫做A，被追捕者叫做B。
考虑在上面dp，设\(f_{x, y, t}\)为当前在\(t\)时刻末，且A在点\(x\)，B在点\(y\)时的期望得分。（注意，A要最小化这个期望得分，B要最大化这个期望得分）
假设我们已经知道了\(t + 1\)时刻各种情况的答案，则考虑A和B如何做出最优决策。
做出最优决策，可以从A的角度单方面考虑，理解为A在以概率数组\(\{p_i\}\)对所有转移状态作决策时，B能做出一种相应的决策以最大化得分，而A要做出一个最优决策（对应一个最优的\(\{p_i\}\)），使得B最大化的得分是A能做的所有决策中最小的。
以上也就是纳什均衡的模型。
关于本题的一些简单情形的纳什均衡模型可以看这里提到的。
重要的是把这个纳什均衡模型转化为一个可用数学语言表达的东西。
设\(e_{i, j}\)为A做出第\(i\)种决策，B做出第\(j\)种决策的期望得分，并设A有\(n\)种决策，B有\(m\)种决策，当前的期望得分为\(S\)，则

\[\text{minimize} \ S \\ \sum_{i = 1} ^ n p_i = 1 \\ \forall j \in [1, m], \sum_{i = 1} ^ n p_i e_{i, j} \leq S \]

变换一下，\(x_i = \frac{p_i}{S}\)，则\(S = \frac{1}{\sum x_i}\)，有

\[\text{minimize} \sum_{i = 1} ^ n x_i \\ \forall j \in [1, m], \sum_{i = 1} ^ n x_i e_{i, j} \leq 1 \]

则用单纯形求解即可。复杂度不关键，关键是跑的很快。
坠痛苦的是单纯形不会打了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const int N = 45;
const db eps = 1e-8, inf = 1e9;
int n, m, t, sr, sk;
bool vis[N][N][N];
db dp[N][N][N];
vector <int> g[N];
void add (int x, int y) {
	g[x].push_back(y);
}
namespace LinearPro {
	int n, m, id[N]; db a[N][N];
	// id means x_id[i] sits on the position where x_i originally sat
	void pivot (int b, int nb) {
		swap(id[b + n], id[nb]);
		db k = -a[b][nb]; a[b][nb] = -1;
		for (int i = 0; i <= n; ++i) {
			a[b][i] /= k;
		}
		for (int i = 0; i <= m; ++i) {
			if (a[i][nb] && i != b) {
				k = a[i][nb], a[i][nb] = 0;
				for (int j = 0; j <= n; ++j) {
					a[i][j] += a[b][j] * k;
				}
			}
		}
	}
	void init () {
		for (int i = 1; i <= n + m; ++i) {
			id[i] = i;
		}
		for ( ; ; ) {
			int b = 0, nb = 0; double w = -eps;
			for (int i = 1; i <= m; ++i) {
				if (a[i][0] < w) {
					b = i, w = a[i][0];
				}
			}
			if (!b) {
				break;
			}
			for (int i = 1; i <= n; ++i) {
				if (a[b][i] > eps) {
					nb = i;
					break;
				}
			}
			pivot(b, nb);
		}
	}
	db simplex () {
		for ( ; ; ) {
			int b = 0, nb = 0; double w = eps;
			for (int i = 1; i <= n; ++i) {
				if (a[0][i] > w) {
					nb = i, w = a[0][i];
				}
			}
			if (!nb) {
				break;
			}
			w = inf;
			for (int i = 1; i <= m; ++i) {
				if (a[i][nb] < -eps) {
					if (-a[i][0] / a[i][nb] < w) {
						b = i, w = -a[i][0] / a[i][nb];
					}
				}
			}
			pivot(b, nb);
		}
		db ret = 0;
		for (int i = 1; i <= m; ++i) {
			if (id[n + i] <= n) {
				ret += a[i][0];
			}
		}
		return 1.0 / ret;
	}
}
db dfs (int x, int y, int z) {
	if (vis[x][y][z]) {
		return dp[x][y][z];
	}
	vis[x][y][z] = 1;
	if (x == y) {
		return dp[x][y][z] = 0;
	}
	if (z == t) {
		return dp[x][y][z] = 1;
	}
	for (auto i : g[x]) {
		for (auto j : g[y]) {
			dfs(i, j, z + 1);
		}
	}
	int n = 0, m = 0;
	for (auto i : g[x]) {
		++n, m = 0;
		for (auto j : g[y]) {
			LinearPro :: a[++m][n] = dp[i][j][z + 1] + 1;
		}
	}
	for (int j = 1; j <= n; ++j) {
		LinearPro :: a[0][j] = -1;
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		LinearPro :: a[i][0] = -1;
	}
	LinearPro :: n = n, LinearPro :: m = m;
	LinearPro :: init();
	dp[x][y][z] = LinearPro :: simplex();
	return dp[x][y][z];
}
int main () {
	scanf("%d%d%d%d%d", &n, &m, &sr, &sk, &t);
	for (int i = 1, x, y; i <= m; ++i) {
		scanf("%d%d", &x, &y), add(x, y);
	}
	for  (int i = 1; i <= n; ++i) {
		add(i, i);
	}
	printf("%.3lf\n", dfs(sr, sk, 0));
	return 0;
}