清华集训2017刷题记录
2322. 「清华集训 2017」Hello world!
题意
一棵树每个点有点权，每次可以选择两个点\(s, t\)，选择步长为\(k\)，从\(s\)跳到\(t\)（不足\(k\)步直接到\(t\)），并且有两种操作，一种是将经过所有点的点权都开根后下取整，一种是统计经过所有点的点权和。
点数\(\leq 50000\)；
询问\(\leq 400000\)；
点权\(\in [1, {10} ^ {13}]\)。
题解
考虑在一个序列上的做法。这个开根号本来就是一个经典操作。
可以考虑对步长\(k\)大小分块。设阈值为\(S\)。
如果\(k \geq S\)，则考虑直接暴力跳，暴力修改，有效的修改最多\(\mathcal O(n \log \log V)\)次，如果一个数变成了1，就用并查集维护他所在的连续的1的最后位置（就是维护一段连续的1）。
如果\(k < S\)，则考虑建立\(k\)个树状数组，查询修改都要依赖这个树状数组（包括上一种情况的修改，同时也要更新树状数组）。
如果把并查集复杂度当做常数，则复杂度是 \(\mathcal O(n \log \log V S \log n + Q \frac{n}{S} \log n + Q S \log n)\)。
考虑在树上做，就要支持查询某一个节点的\(k\)级祖先，我们把一个原图的极大子集叫做\(k\)级树当且仅当它是一棵树，且父子节点在原树上距离为\(k\)。
考虑从\(s\)到\(t\)的路径要分解成两段竖直路径（一端是另一端的祖先的路径），然后对于每一段路径上的点，都是\(k\)级树上的一条连续路径。
前一种情况还是可以用类似方法做，变化不大；
后一种情况，要在对应\(k\)级树上修改或查询某段路径的权值。这个可以直接无脑树剖，也可以用树上差分做。（实测树剖更快。。。）
若使用树上差分，复杂度为 \(\mathcal O(n \log \log V S \log n + Q \frac{n}{S} \log n + Q S \log n)\)。
实测\(S\)取20时最优。。（咋看都不像，都是常数惹的祸）
另外吐槽一句，树上差分什么的竟然没有想到，看来已经不会了。。
upd：我错了，uoj上过不去因为\(S\)开小了。。。
2323. 「清华集训 2017」小 Y 和地铁
题意
给出\(n\)个点排成一条直线，每个点都有一个标号，相同标号的点最多只有2个，且相同标号的点之间有一条连边。
最小化所有连边的交点（包括\(n\)个点连成的直线，相交在端点处不算）。
题解
神仙题，官方题解来一波（当然是别人blog里的……）。
话说回来当然是极有道理的……
2324. 「清华集训 2017」小 Y 和二叉树
题意
给出一个每个点度数不大于3的树，求字典序最小的中序遍历。
题解
题外话：不得不说，这个部分分很有帮助，然后这道题的详细证明也很有意思。
考虑字典序要最小，逐位确定法。最左的点肯定是度数不为3的点，设改点为\(st\)。
那么我们从这个点开始做一个构造过程。
\(x\)是当前节点，\(p\)是上一个节点（如果\(x\)是初始节点\(p\)就是一个虚点），\(u\)和\(v\)是\(x\)的其他两个节点（可能有空节点）。
我们还要考虑一件事情：\(p\)是否为根。根的确定是一件比较重要的事情。然后就有了这种情况。
讨论之前，先设\(mn_{x, 0}\)表示\(x\)的子树中的最小值（以\(st\)为根），\(mn_{x, 1}\)表示\(x\)的子树中度数不为3的最小值（以\(st\)为根）。
对于后一种情况，因为比较简单。
1.如果除了\(p\)，\(x\)只有一个子节点\(u\)：
若\(x < mn_{u, 1}\)，则将\(u\)作为\(x\)的右儿子；否则将\(u\)作为\(x\)的左儿子；
2.如果除了\(p\)，\(x\)有两个子节点\(u, v\)：
若\(mn_{u, 1} < mn_{v, 1}\)，则将\(u\)作为\(x\)的左儿子，\(v\)作为\(x\)的右儿子；否则将\(v\)作为\(x\)的左儿子，\(u\)作为\(x\)的右儿子；
对于前一种情况，比较复杂。
1.如果除了\(p\)，\(x\)只有一个子节点\(u\)：
若\(mn_{u, 1} < u\)，则将\(u\)作为\(x\)的右儿子更优（因为不能用度数为3的节点作为根，向上没有向下优）；
若\(mn_{u, 1} \geq u\)，则将\(u\)作为\(x\)的父节点更优；（这个情况的证明咕了，原因是博主想去观看IOI直播了……大概可以用归纳证明）
2.如果除了\(p\)，\(x\)有两个子节点\(u, v\)：
若\(mn_{u, 1} < mn_{v, 1}\)，则将\(u\)作为\(x\)的右儿子，\(v\)作为\(x\)的父节点；否则将\(v\)作为\(x\)的右儿子，\(u\)作为\(x\)的父节点。
然后就做完了。
题外话：问这个\(mn_{x, 0}\)有什么用，大抵是没有用的，只是因为博主脑抽了，写了题解才发现。
2326. 「清华集训 2017」简单数据结构
题意
一个序列，支持四种操作：
1.在左端加入一个数；
2.在右端加入一个数；
3.删除最左端的数；
4.删除最右端的数；
求每个操作后最长上升倍数子序列的长度和不同的开头数。
保证每个操作前后序列非空，每种数只会出现在一个位置上。一个数出现次数不超过10。
数的大小是\({10} ^ 6\)级别的。
题解
一看就是套路题。先预处理一个数的倍数和约数。总和是\(\mathcal O(m \log m)\)级别的。
注意到一个数同时只会在一个位置出现，很显然可以以位置为某个数的标记。
考虑dp数组\(dp_i\)表示以\(i\)位置开头的最长上升倍数子序列的长度，\(f_{i, j}\)为以\(i\)位置开头，上一个位置的dp值为\(j\)的个数。注意到我们要求的子序列长度在\(\mathcal O(\log n)\)级别，所以可以这么做。
设\(\sigma(n)\)表示\(n\)的因子数，\(\tau(n)\)表示\(n\)的倍数数（\(m\)以内）。
对于操作1，直接维护当前加入的位置的信息即可，复杂度\(\mathcal O(\sigma(x) + \log m)\)。
对于操作2，考虑把所有有影响的数取出并按照位置为关键字排序，依次更新dp值和f数组（注意顺序一定要对），由于所有有影响的数一定是加入的数的倍数，所以复杂度为\(\mathcal O(\tau(x) (\log m + \log n) + \sum_{x | g} \tau(g) + \log m)\)。
对于操作3，和1类似，直接删除这个位置的信息即可，复杂度\(\mathcal O(\log M)\)。
对于操作4，和2类似，\(\mathcal O(\tau(x) (\log m + \log n) + \sum_{x | g} \tau(g) + \log m)\)。
由于有每个数最多出现10次的保证，所以总复杂度还是可以的。
2328. 「清华集训 2017」避难所
题意
在\(b\)进制下，找一个数，满足\(f(n) > n\)。
\(f(n)\)由递归定义
如果最小的\(n\)在十进制下超过\({10} ^ {18}\)，输出-1。
题解
结论题……（还是我菜了）
注意到当\(b\)足够大时，取
\(x\)使得\((x - 1) ^ 2 \leq b \cap x ^ 2 > b\)，\(y\)使得\(y ^ 3 \leq b \cap (y + 1) ^ 3 > b\)，
然后就找到了一个解\(n = \{x * y, x * y, x * y\}\)（对应的\(f(n) = \{y ^ 3, x, x, x\}\)）。
注意到在\(b\)足够大时这是不错的，因为\(x * y \leq b\)，而\(b \leq {10} ^ 5\)，满足了\(n\)的各数位乘积不超过\({10} ^ {18}\)。
当\(b \leq 130\)时暴力找解即可（解的形式都是\(\{x, x, y\}\)或者\(\{x, y, y\}\)，我也不知道为什么……）。
2330. 「清华集训 2017」榕树之心
题意
开始你在1号点（根），每次你可以选择一个未扩展节点\(v\)，连上有关的边\((u, v)\)（满足\(u\)是已扩展节点），然后向\(v\)的方向移动一步。
问最后是否能停在某个节点上。
题解
考虑一个性质：在一棵树的两棵不同子树中分别进行一次操作贡献可以抵消。
设\(dlt_x\)为在\(x\)的子树里，最少能产生多少个多余为扩展的点（不包括\(x\)）。
显然应该考虑\(x\)的最大子树。设为\(y\)。
则有
最后如果\(dlt_1\)非\(0\)，最后就无法走到1号点上。
考虑是否能停在其他节点上。
由于从根到这个节点的这条路径是一定要走的，感性理解一下把这条路径缩成根和原来是等价的（可以把这条路径上的边看成是调整平衡的工具，也算有了斡旋的余地吧）。
然后做一个换根dp即可。
2331. 「清华集训 2017」某位歌姬的故事
题意
给一些限制，表示一个区间\([l, r]\)内最大数为\(x\)，所有数都在\([1, A]\)内，求合法序列的数量。
题解
如果没有\(x\)相同的情况，那就是个水题。
考虑一般解法。设\(c_i\)为位置\(i\)的最低限制。
按照\(c_i\)的大小，我们可以把原来的序列重新排序，如下图。
就像上图需要注意的是，重排后，1,2,3应该要归于同一限制的。反正这种东西写离散化也是烦的要死。
现在考虑一段相同高度的限制，如图。
应该把无用区间删去，然后区间就是随左端点单调，右端点单调的了。
然后做个nmdp即可。。。（dp寥寥几行，预处理独领风骚）
