loj2335. 「JOI 2017 Final」足球

题意

几个人在足球场上踢球（笛卡尔坐标），要把球从一个点搞到另一个点。

可以通过传球，带球，无球跑动等方式实现传递（只能平行于坐标轴），不同的方式产生的疲劳值不同（和距离成不同的线性关系）。

要求最后所有人的疲劳值最小。

题解

观察几个性质：

1.一个人最多控一次球（至少进行了传球或者带球）；

2.一个人的路线一定是：（无球跑动->）（带球->）传球/带球（带括号表示非必选项）；

那么当一个球停在了位置\((x, y)\)，那么在某种最优解中，移动至\((x, y)\)并继续控球的一定是离\((x, y)\)曼哈顿距离最小的一个。

那么我们可以把一个位置\((x, y)\)拆点：（设总点数为\(m\)）

设为\((x,y)_k\)（\(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)）

其中，\((x, y)_4\)表示球到了\((x, y)\)，且没有人控球状态小最小疲惫值；\((x, y)_5\)表示球到了\((x, y)\)，且有人在控球状态下的最小疲惫值；\((x, y)_{0, 1, 2, 3}\)分别表示球正在向上下左右滚动状态下的最小疲惫值。则就可以建图跑最短路。

那其中有一个代价，就是一个人传球时，代价为\(a * p + b\)（\(a, b\)是常数，\(p\)是传球的距离），此时我们把\(a * p\)的贡献分配到每条边上，\(b\)的话也是可以分配到某条边上的。

最终跑一个dij最短路即可。（常数挺大的）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
typedef pair <int, int> pii;
const int N = 251003, M = 1e5 + 5, K = 505;
const int fl[4][2] = {1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, -1};
int h, w, a, b, c, n, m;
int tot, lnk[N * 6], nxt[N * 6 * 6], son[N * 6 * 6];
int md[K][K];
ll ans;
ll co[N * 6 * 6];
queue <pii> q;
struct player {
	int x, y;
} p[M];

void add (int x, int y, ll z) {
	nxt[++tot] = lnk[x], lnk[x] = tot, son[tot] = y, co[tot] = z;
}
int idx (int x, int y) {
	return x * (w + 1) + y;
}
void build () {
	n = (w + 1) * (h + 1);
	for (int i = 0; i <= h; ++i) {
		for (int j = 0; j <= w; ++j) {
			for (int k = 0; k < 4; ++k) {
				add(idx(i, j) + k * n, idx(i, j) + 4 * n, 0);
				add(idx(i, j) + 4 * n, idx(i, j) + 5 * n, 1ll * c * md[i][j]);
				add(idx(i, j) + 5 * n, idx(i, j) + k * n, b);
				int ii = i + fl[k][0], jj = j + fl[k][1];
				if (ii < 0 || ii > h || jj < 0 || jj > w) {
					continue;
				}
				add(idx(i, j) + k * n, idx(ii, jj) + k * n, a);
				add(idx(i, j) + 5 * n, idx(ii, jj) + 5 * n, c);
			}
		}
	}
}
void bfs () {
	memset(md, 60, sizeof md);
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		md[p[i].x][p[i].y] = 0;
		q.push(mp(p[i].x, p[i].y));
	}
	for ( ; !q.empty(); ) {
		pii cp = q.front();
		q.pop();
		int i = cp.fi, j = cp.se;
		for (int k = 0; k < 4; ++k) {
			int ii = i + fl[k][0], jj = j + fl[k][1];
			if (ii < 0 || ii > h || jj < 0 || jj > w) {
				continue;
			}
			if (md[ii][jj] > md[i][j] + 1) {
				md[ii][jj] = md[i][j] + 1;
				q.push(mp(ii, jj));
			}
		}
	}
}
struct st {
	int x; ll c;
	st () {}
	st (int _x, ll _c) :
		x(_x), c(_c) {}
	bool operator < (const st &o) const {
		return c > o.c;
	}
} ;
priority_queue <st> pq;
ll dis[N * 6]; bool vis[N * 6];
void sssp () {
	memset(dis, 60, sizeof dis), dis[idx(p[1].x, p[1].y) + 4 * n] = 0;
	pq.push(st(idx(p[1].x, p[1].y) + 4 * n, 0));
	for ( ; !pq.empty(); ) {
		st cp = pq.top();
		pq.pop();
		if (vis[cp.x]) {
			continue;
		}
		vis[cp.x] = 1;
		for (int j = lnk[cp.x]; j; j = nxt[j]) {
			if (dis[son[j]] > dis[cp.x] + co[j]) {
				dis[son[j]] = dis[cp.x] + co[j];
				pq.push(st(son[j], dis[son[j]]));
			}
		}
	}
	ans = 1e18;
	for (int i = 0; i < 6; ++i) {
		ans = min(ans, dis[idx(p[m].x, p[m].y) + i * n]);
	}
	printf("%lld\n", ans);
}
int main () {
	scanf("%d%d", &h, &w);
	scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
	scanf("%d", &m);
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
	}
	bfs();
	build();
	sssp();
	return 0;
}