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[hdu 6352] Call It What You Want

题意

给出若干组询问,每次询问一个n,求将xn1分解为分圆多项式的乘积。

具体的,即

xn1=d|nΦd(x)

其中分圆多项式的定义为

Φn(x)=1kn,(n,k)=1(xwkn)(wn=cos2πn+isin2πn)

(换句话说,让你求出一些分圆多项式)

题解

f(n)=xn1g(d)=Φd(x),已知

f(n)=d|ng(d)

通过莫比乌斯反演,可以得到

g(n)=d|nf(d)μ(nd)=d|nf(nd)μ(d)

注意到我们只需要μ(d)不为0d,且满足的d都无平方质因子。

注意到dn105<2×3×5×7×11×13×17,我们只要用26枚举每个有用的d即可。那么因子dg(n)的贡献项为(1xnd)μ(d)

如果用多项式乘法把他们搞起来当然不行,复杂度爆炸。

我考虑这个多项式只有两项有值,可以通过一个巧妙的dp(递推)进行计算。

具体来说,

如果乘上的是(1xk)1,可以直接用递推来更新系数(本质是01背包);

如果乘上的是(1xk)1,亦即(1+xk+x2k+...),可以用类似无限背包的递推来累加系数。

由于Φd(x)的次数是ϕ(d),那么这个部分只需要用O(ϕ(d))的复杂度计算即可。

则总复杂度为O(d|n2ω(d)ϕ(d))=O(n26)

由于数据保证n5106,所以总复杂度大概是O(510626)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read () {
	static int x;
	scanf("%d", &x);
	return x;
}

const int N = 1e5 + 5;
int n, m;
int phi[N], pr[N][7];
int id[N]; bool vis[N];
vector <int> poly[N];
void prework () {
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i < N; ++i) {
		if (!pr[i][0])
			for (int j = i; j < N; j += i)
				pr[j][++pr[j][0]] = i;
		phi[i] = i;
		for (int j = 1; j <= pr[i][0]; ++j)
			phi[i] -= phi[i] / pr[i][j];
	}
}
bool cmp (int u, int v) {
	if (phi[u] != phi[v]) return phi[u] < phi[v];
	for (int i = phi[u]; ~i; --i) if (poly[u][i] != poly[v][i])
		return poly[u][i] < poly[v][i];
	return 0;
}
signed main () {
	prework();
	for (int _ = read(); _; --_) {
		n = read(), m = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) if (n % i == 0) {
			id[++m] = i;
			if (vis[i]) continue;
			poly[i].resize(phi[i] + 1, 0);
			poly[i][0] = i > 1 ? 1 : -1;
			for (int j = 0; j < (1 << pr[i][0]); ++j) {
				int d = i, s = 1;
				for (int k = 0; k < pr[i][0]; ++k)
					if (j >> k & 1) d /= pr[i][k + 1], s = -s;
				if (s > 0)
					for (int j = phi[i]; j >= d; --j)
						poly[i][j] -= poly[i][j - d];
				else
					for (int j = d; j <= phi[i]; ++j)
						poly[i][j] += poly[i][j - d];
			}
			vis[i] = 1;
		}
		sort(id + 1, id + 1 + m, cmp);
		for (int i = 1, x; i <= m; ++i) {
			x = id[i];
			putchar('(');
			for (int j = phi[x], f = 1; ~j; --j, f = 0) if (poly[x][j]) {
				if (poly[x][j] < 0) putchar('-');
				else if (!f) putchar('+');
				if (!j || abs(poly[x][j]) != 1) printf("%d", abs(poly[x][j]));
				if (j) printf("x");
				if (j > 1) printf("^%d", j);
			}
			putchar(')');
		}
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

(输出复杂度可能是个瓶颈,本地测是输不出来的,但提交后跑得很快,AC)。

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