[转]计算几何专题
这两天在学习计算几何，随便说说自己的学习过程吧。
基本的叉积、点积和凸包等东西就不多说什么了，网上一搜一大堆，切一些题目基本熟悉了就差不多了。
一些基本的题目可以自己搜索，比如这个blog：http://blog.sina.com.cn/s/blog_49c5866c0100f3om.html
接下来，研究了半平面交，思想方法看07年朱泽园的国家队论文，模板代码参考自我校大牛韬哥：
一些半平面交的题目：
POJ 3335 Rotating Scoreboard
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3335
POJ 3130 How I Mathematician Wonder What You Are!
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3130
POJ 1474 Video Surveillance
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1474
知识点：半平面交求多边形的核，存在性判断
POJ 1279 Art Gallery
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1279
半平面交求多边形的核，求核的面积
POJ 3525 Most Distant Point from the Sea （推荐）
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3525
给出一个多边形，求里面的一个点，其距离离多边形的边界最远，也就是多边形中最大半径圆。
解法：可以使用半平面交+二分法解。二分这个距离，边向内逼近，直到达到精度。
POJ 3384 Feng Shui （推荐）
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3384
半平面交实际应用，用两个圆覆盖一个多边形，问最多能覆盖多边形的面积。
解法：用半平面交将多边形的每条边一起向“内”推进R，得到新的多边形，然后求多边形的最远两点。
POJ 1755 Triathlon （推荐）
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1755
半平面交判断不等式是否有解。注意不等式在转化时正负号的选择，这直接影响到半平面交的方向。
POJ 2540 Hotter Colder
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2540
半平面交求线性规划可行区域的面积。
POJ 2451 Uyuw’s Concert
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2451
Zzy专为他那篇nlogn算法解决半平面交问题的论文而出的题目。
(以上题目来自别人的blog，后面还有几题是我自己找到的)
POJ 1271 Nice Milk http://poj.org/problem?id=1271 黑书习题 UVA 11722 Joining with Friend http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=117&page=show_problem&problem=2769 概率问题，这个规模用半平面交有点浪费，不过就当练习了 USACO 2010 MARCH GOLD StarCowraft http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1829
接下来稍微弄了一下坐标旋转的问题，具体可以参考武汉大牛的博文http://dumbear.com/blog/?p=143
坐标旋转题目切得不多
HDU 1700 Points on Cycle http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1700 比较基础的一道题 POJ 3845 Fractal http://poj.org/problem?id=3845 注意eps的取值 POJ 1133 Stars http://poj.org/problem?id=1133 Harbin Online Contest 2010 http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16 三维坐标旋转。这个要有账号才能提交，还有就是Sample Input 中第二个Sample的“275”改成“270” HDU 3623 Covering Points (2010天津网络赛C题) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3623 (航电没有这题了) http://acm.tju.edu.cn/toj/showp3740.html FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional) http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京现场赛) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087 三维旋转矩阵 + 矩阵加速
然后是旋转卡壳，一个很好的学习网站http://cgm.cs.mcgill.ca/~orm/rotcal.html（不过是英文的），后来找到一个大牛的blog里有部分翻译http://blog.csdn.net/ACMaker，综合起来看了一下，收益良多啊。
一些旋转卡壳的题目
POJ 2187 Beauty Contest
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2187
凸包求最远点对。可以暴力枚举，也可以使用旋转卡壳。
POJ 3608 Bridge Across Islands
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3608
两个凸包的最近距离。
上面两题可以参考blog：http://www.cppblog.com/staryjy/archive/2009/11/19/101412.html（上面代码很不错）
POJ 2079 Triangle http://poj.org/problem?id=2079 这题以为O(N^2)的复杂度会超时，结果就是O(N^2)复杂度 UVA 10173 http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=13&problem=1114&mosmsg=Submission+received+with+ID+8029560 给定点集S,求S的最小覆盖矩形
然后看了一些扫描线之类的东西。
推荐几道比不错的题目：
POJ 2932 Coneology http://poj.org/problem?id=2932 HDU 3124 Moonmist http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3124 最近圆对问题（二分 + 扫描线） HDU 3867 Light and Shadow http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3867 (按极角扫描)注意-PI和PI的位置分割
下面看了一些随机算法：（08年顾研论文-《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》）
（1）随机增量法：这个算法很犀利啊，把一些计算几何的问题降了一个n复杂度。（典型的有最小圆覆盖）
网上找了最小圆覆盖的随机增量算法，里面代码倒是不错，就是解释的不是很清楚，推荐看《计算几何算法与应用(第3版)》（邓俊辉译，清华大学出版社出版）中第91页“4.7最小包围圆”这个章节中的内容，比较详细也很清楚，代码我参考了这个blog的http://blog.csdn.net/pvpishard/archive/2011/01/27/6167262.aspx
（2）模拟退火：参考顾研论文
模拟退火的题目：
POJ 1379 Run Away http://poj.org/problem?id=1379 POJ 2420 A Star not a Tree? http://poj.org/problem?id=2420 URAL 1520 Empire Strikes Back（推荐） http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1520 顾研论文例题，不错的题目 POJ 2069 Super Star http://poj.org/problem?id=2069 此题我WA和TLE了很多次 POJ 3301 Texas Trip http://poj.org/problem?id=3301 这题也可以用三分 SPOJ 4409 Circle vs Triangle https://www.spoj.pl/problems/AREA1/ 模拟退火 + 解析几何 POJ 3285 Point of view in Flatland http://poj.org/problem?id=3285 这题的难点在于找到合适的评估函数，当然这题也可以通过解方程组来做 POJ 2600 Geometrical dreams http://poj.org/problem?id=2600 这题不是模拟退火的题，但是可以用模拟退火过。非模拟退火的方法也不难
解析几何，平面最近点对，。。。这些搞得也不是很深入。
折纸问题 参见大牛dumbear的blog http://dumbear.com/blog/?p=249
两道题目
POJ 1921 Paper Cut http://poj.org/problem?id=1921 这题相对下一题还算比较好做 POJ 3806 Origami Through-Hole http://poj.org/problem?id=3806 这题处理有点麻烦，我调试了很久才过圆的面积并和交，详细可以看AekdyCoin大牛的blog
圆的面积并：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/c1b28e3711246b3f0b55a95e.html
圆的面积交：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html
题目：
SPOJ 8073 The area of the union of circles https://www.spoj.pl/problems/CIRU/ SPOJ 3863 Area of circles https://www.spoj.pl/problems/VCIRCLES/ SPOJ 8119 CIRU2 https://www.spoj.pl/problems/CIRUT/ 圆面积并的拓展 HDU 3467 Song of the Siren http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3467 HDU 3239 Jiajia's Robot (推荐) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3239 很巧妙的一道题，我是看了AC大牛blog中的留言才知道到方法的。 方法见AC大牛blog中的一条留言：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/12267a4e9476153bafc3abbd.html凸多边形的面积并
先看了AC大牛的blog学会了O(N^3)的方法，后来在做Codeforces的时候发现有O(N^2*logN)的方法，而且也不繁琐
AC大牛的博文：http://hi.baidu.com/aekdycoin/blog/item/fbe5a03232c71952ad4b5fcc.html
Codeforces Round #83 DIV1 的 E题用O(N^3)的方法过不掉第49组数据，然后研究了其他大牛的凸多边形交的代码
http://codeforces.com/contest/107/status/E
先是看了dagon的代码发现其实他的代码有问题，Codeforces的数据居然没有查出来。然后看了syntax_error的代码，
发现他是用类似梯形剖分的方法做的，复杂度O(N^2*logN)，果断就学习了
题目：http://codeforces.com/contest/107/problem/E
有关细节：http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/10/17/2215551.html
有一类题目是给出一些点，并告诉你哪些点之间有连线，并且这些连线段之间除端点之外没有其他交点（有时候这些线段是要自己处理出来的）。
然后题目要你求
1 每小块多边形的面积
2 有多少个K多边形内部不含点和线段
3 这些线段围成的图形的轮廓线
这类题目的方法都差不多，在很多大牛的blog里都可以找到类似的方法。
比如： gccfeli大牛的blog：http://gccfeli.cn/2007/09/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95-pku1092-%E5%A5%87%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%8A%80%E5%B7%A7.html
watashi大牛的blog：http://watashi.ws/blog/970/andrew-stankevich-3-solution/
Isun大牛的blog：http://hi.baidu.com/xh176233756/blog/item/29652646f0e870006a63e5cb.html
题目：
POJ 1092 Farmland http://poj.org/problem?id=1092 ZOJ 2361 Areas / SGU 209 http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2361 不错的一题，watashi的blog里有解题报告 POJ 3743 LL’s cake http://poj.org/problem?id=3743 POJ 2164 Find the Border http://poj.org/problem?id=2164三维几何
网上有关三维几何的内容很少阿，代码和题目基本都不怎么能搜到，我也就切了不多的几题
前面坐标旋转里的两到题：
Harbin Online Contest 2010 http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1006&cid=16 三维坐标旋转。这个要有账号才能提交，还有就是Sample Input 中第二个Sample的“275”改成“270” FZU 2002 Shade of Hallelujah Mountain (2010福州regional) http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2002
SGU 110 Dungeon http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=110 三维光线反射 FZU 1981 Three kingdoms (2010福州网络赛) http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1981 坐标映射，我一开始用map一直TLE，只好改成不用map的代码 UVA 11275 3D Triangles http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=24&page=show_problem&problem=2250 HDU 4042是这题的加强版，我使用同样的代码AC的 对于这题题目中诡异的精度0.000001我并没有特别处理 HDU 4042 Fireworks (2011北京网络赛) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4042 很不错的题目 (解题报告：http://hi.baidu.com/%D0%A1%CE%E4rj/blog/item/0114bb2dcd4cdef78b13991d.html) HDU 4087 ALetter to Programmers (2011 北京现场赛) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4087 三维旋转矩阵 + 矩阵加速
其他一些题目：
EOJ 283 Target Practice http://202.120.106.94/onlinejudge/problemshow.php?pro_id=283 搜索 + 几何 POJ 1688 Dolphin Pool http://poj.org/problem?id=1688 这题有好几种做法 POJ 1981 Circle and Points http://poj.org/problem?id=1981 很经典的一道题目 POJ 3675 Telescope http://poj.org/problem?id=3675 圆和多边形的公共面积 POJ 1259 The Picnic http://poj.org/problem?id=1259 最大凸洞，计算几何 + DP POJ 1586 Three Sides Make a Triangle http://poj.org/problem?id=1586 题目内容很简单，方法也很明显，不过想AC可不容易，精度很恶心的一题，我是看了discuss才过的 HDU 3629 Convex （推荐） http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3629 一道不错的题目，这题有两种思路： 1)http://apps.topcoder.com/wiki/display/tc/TCO%2710+Online+Round+4 2)http://www.owent.net/2010/09/the-35th-acmicpc-asia-regional-tianjin-site-%E2%80%94%E2%80%94-online-contest-1009-convex-%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%8A%A5%E5%91%8A.html HDU 3644 A Chocolate Manufacturer's Problem (2010杭州网络赛) http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3644 本来想用模拟退火水一下的，结果徘徊于WA和TLE之间无法AC FZU 1973 How many stars (推荐) (2010福州网络赛) http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1973 比较经典的一道题目 POI2007 对称轴osi http://www.zybbs.org/JudgeOnline/problem.php?id=1100 很犀利的一道题目，题意是判多边形的对称轴个数，原来做的这种题目都是用O(N^2)的复杂度来解的， 这次O(N^2)果断不行，加随机化也过不了，最后在解题报告的指导下才搞定这题。第一次发现计算几何 的问题居然还能用字符串的方法解。 网上搜到的解题报告：http://hi.baidu.com/nplusnplusnplu/blog/item/d260baef2e9e9c5879f055cb.html
下次再搞计算几何的时候会更加深入一些。
全文转自：http://www.cnblogs.com/ch3656468/archive/2011/03/02/1969303.html
