JOJ 2453 Candy 网络流

题意：

有N 颗糖果和M 个小孩，老师现在要把这N 颗糖分给这M 个小孩。每个小孩i对每颗糖j 都有一个偏爱度Aij，如果他喜欢这颗糖，Aij = 2，否则 Aij = 1。小孩 i觉得高兴当且仅当∑Cij×Aij >= Bi，j=1,2, …,N ，若他分得了糖 j ，Cij = 1，否则 Cij = 0。问能否合理分配这 N 颗糖，使得每个小孩都觉得高兴。（1 <= N <= 100,000, 1 <= M <= 10, 0 <= Bi <= 1,000,000,000） 

 

题解：

真心给这个题跪了。。。

官方题解见 Edelweiss的网络流建模总结 。

 http://wenku.baidu.com/view/0ad00abec77da26925c5b01c.html

我对题解是这样理解的：

首先要想明白<=Bi这个条件，其实等价于=Bi，这是做这道题的基础（原因是：>Bi就没有意义了，还不如给其他小朋友）。

设Dij=Aij-1 Dij属于{0,1}

则∑Cij*Aij>=Bi

即∑Cij*(Dij+1)>=Bi

即∑(Cij*Dij)+∑Cij>=Bi

即∑∑(Cij*Dij)+∑∑Cij>=∑Bi

注意到∑∑Cij=N（每个糖最终都要分给小朋友）

则∑∑(Cij*Dij)>=∑Bi-N

这就是题解这么建图的原因，是有依据的。

 

再进一步解释题解：

①这个网络流的图实际上是只考虑了对Aij=2的这种情况的分配，没有考虑Aij=1的分配方案。但这样做正是其巧妙之处

②对于每个小朋友向T连的floor(Bi/2)的解释：上文提到了，网络流的图只考虑Aij=2的分配，所以Aij=2的分配的个数是<=floor(Bi/2)，也就是说floor(Bi/2)是容量的上界

 

对题解的补充：

我一直没有写这个题的原因是明显超时，原图中有10W+的点，不Tle我都不信。。

偶然发现了优化方法，将糖合并，只有十个人，可以将糖分成2^10种（根据每个人喜欢或者不喜欢），应该是能过了！

 

不得不说这真是一道最大流的神题啊！

 

最近好忙，有空补上代码。。也许永远也补不上了。。。