TYVJ 1215 斜率优化DP

题目连接：http://new.tyvj.cn/Problem_Show.aspx?id=1215

思路：

方程再简单不过了：

dp[i]表示以第i个人为某一组最后一个人的总战斗值

dp[i]=max(dp[j]+F(sum[i]-sum[j]))

其中F(x)=A*x*x+B*x+C       sum[i]表示战斗值的前缀和

显然n^2的方程，只能得到20分

 

单调性显然，那么就开始我们的斜率优化

设j<k且满足k比j更优

dp[j]+A*(sum[i]-sum[j])^2+B*(sum[i]-sum[j])+C<=dp[k]+A*(sum[i]-sum[k])^2+B*(sum[i]-sum[k])+C

化简,分离变量，将含j,k的结构放到方程一边，含i的结构放在方程另一边：

2*A*sum[i]*(sum[k]-sum[j])<=dp[k]-dp[j]+B*(sum[j]-sum[k])+A*(sum[k]^2-sum[j]^2)

设:

p[i]=2*A*sum[i]

G(k,j)=dp[k]-dp[j]+B*(sum[j]-sum[k])+A*(sum[k]^2-sum[j]^2)

S(k,j)=sum[k]-sum[j]

W(k,j)=G(k,j)/S(k,j)

所以只要维护   ：   W(k,j)>=p[i]   就可以了~

（PS：如果没有看懂斜率优化，请转步：http://www.cnblogs.com/proverbs/archive/2012/10/06/2713109.html）

 

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>

#define N 1001000

using namespace std;

__int64 A,B,C,a[N],sum[N],dp[N],p[N];
int n,q[N];

void read()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%I64d%I64d%I64d",&A,&B,&C);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%I64d",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        p[i]=2*A*sum[i];
    }
}

inline __int64 G(int y,int x)
{
    return dp[y]-dp[x]+B*(sum[x]-sum[y])+A*(sum[y]*sum[y]-sum[x]*sum[x]);
}

inline __int64 S(int y,int x)
{
    return sum[y]-sum[x];
}

inline __int64 F(int x)
{
    return A*x*x+B*x+C;
}

void go()
{
    dp[0]=0;
    int h=1,t=1;
    q[t++]=0;
    for(int i=1,x,y,z;i<=n;i++)
    {
        while(h<t-1&&G(q[h+1],q[h])>=p[i]*S(q[h+1],q[h])) h++;
        
        dp[i]=dp[q[h]]+F(sum[i]-sum[q[h]]);
        
        q[t++]=i;
        
        for(int j=t-2;j-1>=h;j--)
        {
            x=q[j-1]; y=q[j]; z=q[j+1];
            if(G(z,y)*S(y,x)>=G(y,x)*S(z,y)) q[j]=q[--t];
            else break;
        }
    }
    printf("%I64d\n",dp[n]);
}

int main()
{
    read();
    go();
    return 0;
}