NOI2010 海拔（平面图最大流）
此题：
平面图最大流用的不是网络流算法，但是需要网络流的结论：最小割=最大流
【问题描述】
YT 市是一个规划良好的城市，城市被东西向和南北向的主干道划分为 n×n 个区域。简
单起见，可以将 YT 市看作 一个正方形，每一个区域也可看作一个正方形。从而，YT 城市
中包括(n+1)×(n+1)个交叉路口和 2n×(n+1)条双向道路（简称道路），每条双向 道路连接主干
道上两个相邻的交叉路口。下图为一张 YT 市的地图(n = 2)，城市被划分为 2×2 个区域，包
括 3×3 个交叉路口和 12 条双向道路。
小 Z 作为该市的市长，他根据统计信息得到了每天上班高峰期间 YT 市每条道路两个方
向的人流量，即在高峰期间沿 着该方向通过这条道路的人数。每一个交叉路口都有不同的
海拔高度值，YT 市市民认为爬坡是一件非常累的事情，每向上爬 h 的高度，就需要消耗 h
的体力。如果 是下坡的话，则不需要耗费体力。因此如果一段道路的终点海拔减去起点海
拔的值为 h(注意 h 可能是负数)，那么一个人经过这段路所消耗的体力是 max{0, h}（这里
max{a, b}表示取 a, b 两个值中的较大值）。
小 Z 还测量得到这个城市西北角的交叉路口海拔为 0，东南角的交叉路口海拔为 1(如上
图所示)，但其它交叉路口的海拔高度都无法得知。小 Z 想知道在最理想的情况下（即你可
以任意假设其他路口的海拔高度），每天上班高峰期间所有人爬坡消耗的总体力和的最小值。
【输入格式】
输入文件 altitude.in 第一行包含一个整数 n，含义如上文所示。
接下来 4n(n + 1)行，每行包含一个非负整数分别表示每一条道路每一个方向的人流量信
息。输入顺序：n(n + 1)个数表示所有从西到东方向的人流量，然后 n(n + 1)个数表示所有从
北到南方向的人流量，n(n + 1)个数表示所有从东到西方向的人流量，最后是 n(n + 1)个数表
示所有从南到北方向的人流量。对于每一个方向，输入顺序按照起点由北向南，若南北方向
相同时由西到东的顺序给出(参见样例输入)。
【输出格式】
输出文件 altitude.out 仅包含一个数，表示在最理想情况下每天上班高峰期间所有人爬
坡所消耗的总体力和（即总体力和的最小值），结果四舍五入到整数。
全国青少年奥林匹克竞赛（NOI）2010 试题
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【样例输入】
1
1
2
3
4
5
6
7
8
【样例输出】
3
【样例说明】
样例数据见下图。
最理想情况下所有点的海拔如上图所示。
【数据规模】
对于 20%的数据：n ≤ 3；
对于 50%的数据：n ≤ 15；
对于 80%的数据：n ≤ 40；
对于 100%的数据：1 ≤ n ≤ 500，0 ≤ 流量 ≤ 1,000,000 且所有流量均为整数。
【提示】
海拔高度不一定是整数。
【运行时限】
2 秒。
【运行空限】
512M。
第一眼看题目有木有很蛋疼。。海拔可以随便取，还不一定是整数。。。
但是想：找出图中海拔最高的点，如果它不是起止点，那么总是可以把它调小使得结果更优。那么最高点最后就必然为终点。同理可知最低点必然为起点。那么图中有没有可能存在小数使得结果更优呢？同样可以把小数向上或向下调整到1或0使得代价不增。
再有，所有海拔为0的点必然互相连通。为什么呢？显然，四面连接1的0如果使它取1必然使结果更优。同理可推海拔为1的点。
那么得到了大致的图后，很明显，就是一个最小割的问题了。
把每边消耗的体力设为这条边的流量，求出割，分成海拔分别为0和1的两块。
但是最后两点必超无疑。。。
有没有时效更高的做法呢？用最短路来求割。
在题目所给图中的左下角和右上角加入源和汇，如下建立原图的对偶图（红色部分）：
摘自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_86942b1401014ajk.html
可以看出，每一条最短路必然把地图“切成”两块，那么每条连接源和汇的路径就是一组合法的割了，求出最短路，就相当于求出最小割、
只要最短路，强烈建议编dij+heap，第一次想当然编了spfa倒二点4+s。。。不过敲了下dij+heap的模版还是很有感觉的。
最后的最后，不得不说下读入。。。什么南北东西的南方人表示理解不能。。。连个优先级都没搞清楚。结果建图的地方借用了上面blog中的做法。。。鸣谢、
对于每组n*(n+1)条边都是按照从左到右再从上到下给的。
搞定了读入，再建图就没有什么困难了。
代码：
View Code
1 #include <cstdio> 2 #include <cstdlib> 3 #include <algorithm> 4 #include <cstring> 5 #define N 300000 6 #define M 3000000 7 using namespace std; 8 int n,S,T,dis[N],head[N],next[M],to[M],len[M],cnt,size; 9 struct HEAP 10 { 11 int x,d; 12 }heap[M]; 13 inline void add(int u,int v,int w) 14 { 15 to[cnt]=v; len[cnt]=w; next[cnt]=head[u]; head[u]=cnt++; 16 } 17 int getnum(int x,int y) 18 { 19 return (x-1)*n+y; 20 } 21 inline bool cmp(const HEAP &a,const HEAP &b) 22 { 23 return a.d>b.d; 24 } 25 void read() 26 { 27 memset(head,-1,sizeof head); 28 cnt=0; 29 scanf("%d",&n); 30 S=0; T=n*n+1; 31 int a; 32 // 33 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a),add(S,getnum(1,i),a); 34 for(int i=1;i<n;i++) 35 for(int j=1;j<=n;j++) 36 scanf("%d",&a),add(getnum(i,j),getnum(i+1,j),a); 37 for(int i=1;i<=n;i++) 38 scanf("%d",&a),add(getnum(n,i),T,a); 39 // 40 for(int i=1;i<=n;i++) 41 { 42 scanf("%d",&a),add(getnum(i,1),T,a); 43 for(int j=2;j<=n;j++) scanf("%d",&a),add(getnum(i,j),getnum(i,j-1),a); 44 scanf("%d",&a),add(S,getnum(i,n),a); 45 } 46 // 47 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a); 48 for(int i=1;i<n;i++) 49 for(int j=1;j<=n;j++) 50 scanf("%d",&a),add(getnum(i+1,j),getnum(i,j),a); 51 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a); 52 // 53 for(int i=1;i<=n;i++) 54 { 55 scanf("%d",&a); 56 for(int j=2;j<=n;j++) scanf("%d",&a),add(getnum(i,j-1),getnum(i,j),a); 57 scanf("%d",&a); 58 } 59 } 60 void dijkstra() 61 { 62 memset(dis,0x3f,sizeof dis); 63 heap[1].x=S; heap[1].d=0; dis[S]=0; size=1; 64 int sta; 65 while(size) 66 { 67 sta=heap[1].x; 68 pop_heap(heap+1,heap+1+size,cmp); 69 size--; 70 for(int i=head[sta];~i;i=next[i]) 71 if(dis[to[i]]>dis[sta]+len[i]) 72 { 73 dis[to[i]]=dis[sta]+len[i]; 74 size++; 75 heap[size].x=to[i]; heap[size].d=dis[to[i]]; 76 push_heap(heap+1,heap+1+size,cmp); 77 } 78 } 79 80 printf("%d\n",dis[T]); 81 } 82 int main() 83 { 84 read(); 85 dijkstra(); 86 system("pause"); 87 return 0; 88 }
