红黑树

1. 红黑树本质是一个二叉搜索树（BST），了解红黑树之前需要先了解 BST 的特性

   1. BST 的特性只有一个：在 BST 中，任何一个根节点都大于等于所有 left children，都小于所有 right children，依据这一特性，BST 可以推出以下特性：

      1. BST 中序遍历的结果为一个有序的列表

      2. 查找 key：从根节点查找，小于当前节点再从left child 开始查找，大于当前节点则从right child 开始查找，直到查找到或者到叶子结点为止

      3. 最小值：二叉树的最左节点

      4. 最大值：二叉树的最大节点

      5. 前驱：

         1. 如果有left child，则为以left child 为根的最大值

         2. 如果没有 left child，再判断当前节点是否为root

            1. 如果是，没有前驱

            2. 如果不是，找到当前节点为 parent 的 right child 的那个 parent 节点，如果没有那个 parent，就没有前驱

      6. 后继：

         1. 如果有right child，则为以right child 为根的最小值

         2. 如果没有 right child，再判断当前节点是否为root

            1. 如果是，没有后继

            2. 如果不是，找到当前节点为 parent 的 left child 的那个 parent 节点，如果没有那个 parent，就没有后继

      7. 插入操作：要插入的 key 小于等于当前节点以 left child 为当前节点继续递归插入，要插入的 key 小于当前节点以right child 为当前节点继续递归插入，直到 child 为null 位置，child 为null 的位置就是要插入的位置。

      8. 删除操作：

         1. 如果要删除的节点没有 child，直接删除

         2. 如果只有一个 child，用 child 代替要删除的节点

         3. 如果有两个 child，找到后继节点，用后继节点的 key 替换要删除的那个节点的 key，接着递归删除后继节点操作

2. 了解红黑树之前，还需要知道两个操作，左旋和右旋

   1. 左旋：以parent 为支点，原parent 变成 原 right child 的 left child，原 right child 变成 parent，原 right child 的 left child 变成原parent 的 right child，左旋完成后 BST 的特性不变

   2. 右旋：以parent 为支点，原parent 变成 原 left child 的right child，原 left child 变成 parent，原 left child 的 right child 变成原parent 的 left child，右旋完成后 BST 的特性不变

3. 红黑树特性

   1. 每个 node 只能是 red 或 black

   2. 根节点是black

   3. leaf 节点数据为 NIL 且每个 leaf 结点是 black

   4. 如果一个 node 是 red，则它的 children 必须是 black

   5. 从一个 node 到其 children 的所有路径上包含相同的 black node 数量

4. 红黑树操作 -- 添加：

   1. 将红黑树视为 BST，将节点插入

   2. 将插入的节点标记为 red

   3. 通过一系列插入修正操作，使之重新成为一颗红黑树

5. 红黑树操作 -- 添加时的插入修正操作：红黑树添加得第3步的具体插入修正操作可以分成3类：

   1. 被插入的节点是根节点：直接标记为 black

   2. 被插入的节点的 parent 节点是 black：什么都不做

   3. 被插入的节点的 parent 是 red：此时，又可根据 uncle 节点来分为3类操作

      1. 当前节点的 parent 节点是红色，且 uncle 节点也是红色，操作流程为：

         1. 将 parent 和 uncle 标为黑色

         2. 将 grandparent 标为 红色

         3. 以 grandparent 为当前节点继续递归修正

      2. 当前节点的 parent 是 red，且是其 parent 的 left child，uncle 是 black ，操作流程为：

         1. 将 parent 设置为 black

         2. 将 grandparent 标为 red

         3. 以 grandparent 为支点右旋

      3. 当前节点的 parent 是红色，且是其 parent 的 right child，操作流程为：

         1. 以 parent 为支点进行左旋

         2. 左旋完成后变成情况2，按情况2 继续调整即可

      注意：上述 3 种情况都是以插入到 parent 的 left child 为前提的，如果是插入到 right child，执行与上述情况的镜像操作即可

6. 红黑树操作 -- 删除：

   1. 将红黑树视为一个 BST 来删除节点，这有3类情况：

      1. 待删除的节点是 red，直接删除即可

      2. 待删除的节点是 black，要顶替的节点是 red， 先删除，然后将要顶替的节点变成 black 即可

      3. 待删除的节点是 black，要顶替的节点也是 black，此时先删除，然后以要顶替的节点 为 x，通过一系列删除修正操作，使之重新成为一颗红黑树

7. 红黑树操作 -- 删除修正：红黑树的删除修正可分为以下 6 种情况：

   1. x 是 root 节点，什么都不用做

   2. x 的 parent、sibling、nephews 都是 black

      1. 把 x 的 sibling 变成 red 即可

      2. 以 x 的 parent 为当前节点继续递归进行删除修正操作

   3. x 的 parent 是 red，sibling 和 nephews 是 black

      1. 将 parent 变成 black，此时变成了情况2，再按情况2 继续调整即可

   4. x 的 parent 颜色随意，sibling 是 black，sibling 的 right child 是 red

      1. parent 和 sibling 颜色交换，sibling 的 right child 变为 black 

      2. 以 x 的 parent 为支点左旋

   5. x 的 parent 颜色随意，sibling 是 black，sibling 的 left child 是 red

      1. sibling 标为 red，原 sibling 的 left child 标为 black

      2. 以 sibling 为支点右旋

      3. 此时变成了情况3，再按情况3 继续调整即可

   6. x 的 sibling 是 red

      1. parent 变成 red，sibling 变成 black

      2. 以 x 的 parent 为支点进行左旋

      3. 此时只可能会变成情况 3、4、5，继续按所变成的情况继续操作即可

   注意：上述 6 种情况都是以 x 是 parent 的 left child 为前提的，如果 x 是 parent 的 right child，执行与上述情况的镜像操作即可