20250215 NOIP 模拟赛

A.diff

题面： 给定一个长为 $n$ 的序列 $A$，将其重派为一个序列 $B$，使其是在 $modM$($M$ 是质数)意义下的等差数列。输出首项和公差，多组解任意输出一个或报告无解。$(n\le {10}^5,M\le 1e9+7)$

题解：
首先我们可以证明对于一个首项和公差 $(a,d)a,d\in [0,M)$ 他的前 $M$ 项会使 $[0,M)$ 的每个数都恰好出现一次，也即在第 $M+1$ 次成环。

证明：考虑如果出现重复的数即有 $a+kd\equiv a(modM)$ 即 $kd\equiv 0(modM)$，由于 $M$ 是质数和 $d<M$，所以 $k$ 一定是 $M$ 的倍数，所以在前 $M$ 项中都有 $k<M$，不会满足条件，那么 $[0,M)$ 的每个数会出现一次。

我们任意找到两个数字，他们的差记为 $kd$。即公差的 $k$ 倍。我们发现:

• 如果 $2n\le M$，那么序列 $A$ 中恰有 $k$ 个数 $x$ 满足 $x+kd$ 不在 $A$ 中，得到 $d$，然后检验若 $x-d$ 不存在，则 $x$ 是首项。
• 如果 $2n>M$，那么我们就对 $A$ 取在 $[0,M)$ 中的补集做上面的算法求得首项和公差，那原序列的公差和补集的公差是一样的，首项就是补集最后一项再加 $d$，因为这时会成环，所以 $x+d$ 就是原序列的首项。

这样这个题就完成了。

为什么要以 $2n$ 和 $M$ 的关系作为分界呢？

因为我们在获取到 $kd$ 后计算 $k$ 的时候，如果 $2n\le M$，由于前 $M$ 个每个数只出现一次，那等差数列最后的 $k$ 个数的 $x+kd$ 都是还没有出现的数。如果 $2n>M$，那最后 $k$ 个数中有若干个会成环而导致 $k$ 少算。

B.pairs

题面： 求长为 $n$ 且逆序对数也为 $n$ 的排列个数。$(n\le {10}^5)$

题解：
我们考虑每次往一个 $n-1$ 的排列中加入 $n$ 这个数，使其成为一个 $n$ 的排列，考虑我们加入 $n$ 的时候，序列中所有数都小于 $n$，所以我们可以操作使序列增加 $[0,n-1]$ 个逆序对。
设 $f[i][j]$ 表示长为 $i$ 的排列有 $j$ 个逆序对的方案数，有转移 $f[i][j]=\sum _{j-(i-1)}^{j}f[i-1][j]$。

那么我们可以进一步的观察 $j$ 这一维的变化发现，题目即求一个序列 $a$ 满足 $\sum a_i=n,a_i<i$ 的方案数。考虑容斥：
对于一个集合 $S\subseteq \{1,2,\cdots ,n\}$，设 $sum(S)$ 为 $\sum _{i\in S}i$。那么答案就是

$$\sum _S(-1{)}^{|S|}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-sum(S)+n-1}{n-1})$$

表示的组合意义就是，考虑集合 $S$ 中的数不满足 $a_i<i$，那我们先把 $S$ 中的数 $a_i$ 都先放上 $i$ 个，剩下的 $n-sum(S)$ 个随便放给 $n$ 个人。这样就保证 $S$ 中的数都一定不满足条件，其余放任自流，容斥系数是 $(-1{)}^{|S|}$。

考虑求出所有的 $|S|$ 和 $sum(S)$，设 $f[i][j]$ 表示集合大小为 $i$，$sum(S)$ 为 $j$ 的方案数。转移考虑两种操作：

• 一种是将当前集合内所有数全部 $+1$。即 $(f[i][j]\to f[i][j+i])$ 例如 $\{1,2,3\}\Rightarrow \{2,3,4\}$
• 一种是将当前集合内所有数都 $+1$，再加入一个 $1$。即 $(f[i][j]\to f[i+1][j+i+1])$ 例如 $\{2,3,4\}\Rightarrow \{1,3,4,5\}$

对于每一个集合，有且只有一种操作方案得到，即 倒推操作 如果当前集合没有 $1$，那上一步就是操作一，否则就是操作二，所以每个集合都正好会被算一次。

复杂度：枚举 $j$ 上界是 $n$，$i$ 加等差数列次之后 $j$ 就会至少是 $n$，所以 $i$ 只有 $O(\sqrt{n})$ 个，总复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

C.unicom

题面： 给一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图满足 $(u,v)\in E,|u-v|\le K$，$Q$ 次询问，每次给出 $[L,R]$，问只保留 $[L,R]$ 内的点和边有多少联通块。$(n,Q\le {10}^5,K\le 5)$

题解：
区间询问但可以离线。考虑分治，将询问离线之后猫树，因为只有 $mid$ 向左右的 $K$ 个点会对另一半有影响，所以从 $mid$ 向左右处理只保留 $[i,mid]$ 或 $[mid+1,j]$ 之间的点和边的联通块数和 $mid$ 左右 $K$ 的并查集，合并的时候还原所有的 $2K$ 个并查集，再暴力加至多 $K^2$ 条边即可。复杂度 $O(n{\log }^{2}n+Q{K}^2\log n)$

注意并查集合并时要让离 $mid$ 更远的点连到离 $mid$ 更近的点上，这样只还原 $mid$ 周围点的时候才对。

D.similar

题面： 给定一个长为 $n$ 的序列 $A$，$Q$ 次询问，每次给定 $a,b,c,d$，判断区间 $[a,b]$ 和 $[c,d]$ 中的元素排序后对应位置上是否至多只有一个不同。$(n,q,a_i\le {10}^5,b-a=d-c)$

题解：
考虑怎么判断两个区间符合条件：将其间的元素桶排之后，要么全部相同，否则第一个不同的桶和最后一个不同的桶必须正好互补，并且中间不能有值。

使用权值线段树来桶排，用 $hash$ 判断区间是否全部相同 （$hash$ 的作用和套路要敏感），套上可持久化消去区间限制，第一个不同的位置可以线段树二分，全是套路。