莫比乌斯函数
莫比乌斯函数：
设正整数 \(N\) 分解质因数为 \(N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times \cdots\times p_m^{c_m}\) ，
定义函数
注意莫比乌斯函数是积性函数。
若只求一项莫比乌斯函数，分解质因数即可。
代码
int mobius(){
for(int i=2;i<=n;i++){
while(n%i==0){
c[++cnt]=i;
if(c[cnt]==c[cnt-1]) return 0;
n/=i;
}
}
if(n>1) cnt++;
if(cnt&1) return -1;
else return 1;
}
若求 \(1\sim N\) 的每一项数值，可以筛法计算。
埃氏筛
void mobius(){
for(int i=1;i<=n;i++) miu[i]=1,v[i]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(v[i]) continue;
miu[i]=-1;
for(int j=2*i;j<=n;j+=i){
v[j]=1;
if((j/i)%i==0) miu[j]=0;
else miu[j]*=i;
}
}
}
线性筛
void mobius(){
ipr[1]=miu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!ipr[i]) pri[++cnt]=i,miu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=n;j++){
ipr[i*pr[j]]=1;
if(i%pr[j]==0){
miu[i*pr[j]]=0;
break;
}
miu[i*pr[j]]=-miu[i];
}
}
}
[POI2007]ZAP-Queries
给出 \(a,b,d\)，求满足 \(1 \leq x \leq a\)，\(1 \leq y \leq b\)，且 \(\gcd(x,y)=d\) 的二元组 \((x,y)\) 的数量。
题目即求：
\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b [\gcd(i,j)==k]\\ =\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{a}{k}\rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{b}{k}\rfloor} [\gcd(i,j)==1] \]设 \(D[i,j,k]\) 表示满足 \(1\leq x\leq a,1\leq y\leq b\) 且 \(k\mid \gcd(x,y)\) 的二元组的方案数。显然为 \(k\mid a\ \&\& \ k\mid b\) 的方案数。\(1\sim a\) 中 \(k\) 的倍数有 \(\lfloor\frac{a}{k}\rfloor\) 个，所以 \(D[a,b,k]=\lfloor\frac{a}{k}\rfloor\times\lfloor\frac{b}{k}\rfloor\)
设 \(F[a,b]\) 表示满足 \(1\leq x\leq a,1\leq y\leq b\) 且 \(\gcd(x,y)=1\) 的方案数，会发现 \(D[a,b,i]\) 的系数恰好就是 \(\mu(i)\) ，即：\[F[a,b]=\sum_{i=1}^{\min(a,b)} \mu(i)\times D[a,b,i] \]然后发现 \(\forall i\in[x,\min(\lfloor\frac{a}{\lfloor\frac{a}{x}\rfloor}\rfloor,\lfloor\frac{b}{\lfloor\frac{b}{x}\rfloor}\rfloor)],D[a,b,i]\) 都相等，就可以用整除分块维护答案，共有 \(O(\sqrt{a}+\sqrt{b})\) 个段。并预处理 \(\mu(i)\) 的前缀和，即可快速求得答案。
