莫比乌斯函数

莫比乌斯函数:

设正整数 N 分解质因数为 N=p1c1×p2c2××pmcm
定义函数

μ(N)={0   i[1,m],ci>11   m0 (mod2),i[1,m],ci=11 m1 (mod2),i[1,m],ci=1

注意莫比乌斯函数是积性函数

若只求一项莫比乌斯函数,分解质因数即可。

代码
int mobius(){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		while(n%i==0){
			c[++cnt]=i;
			if(c[cnt]==c[cnt-1]) return 0;
			n/=i;
		}
	}
	if(n>1) cnt++;
	if(cnt&1) return -1;
	else return 1;
}

若求 1N 的每一项数值,可以筛法计算。

埃氏筛
void mobius(){
	for(int i=1;i<=n;i++) miu[i]=1,v[i]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(v[i]) continue;
		miu[i]=-1;
		for(int j=2*i;j<=n;j+=i){
			v[j]=1;
			if((j/i)%i==0) miu[j]=0;
			else miu[j]*=i;
		}
	}
}
线性筛
void mobius(){
	ipr[1]=miu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!ipr[i]) pri[++cnt]=i,miu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=n;j++){
			ipr[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0){
				miu[i*pr[j]]=0;
				break;
			}
			miu[i*pr[j]]=-miu[i];
		}
	}
}

 

[POI2007]ZAP-Queries

给出 a,b,d,求满足 1xa1yb,且 gcd(x,y)=d 的二元组 (x,y) 的数量。

题目即求:

i=1aj=1b[gcd(i,j)==k]=i=1aki=1bk[gcd(i,j)==1]

D[i,j,k] 表示满足 1xa,1ybkgcd(x,y) 的二元组的方案数。显然为 ka && kb 的方案数。1ak 的倍数有 ak 个,所以 D[a,b,k]=ak×bk
F[a,b] 表示满足 1xa,1ybgcd(x,y)=1 的方案数,会发现 D[a,b,i] 的系数恰好就是 μ(i) ,即:

F[a,b]=i=1min(a,b)μ(i)×D[a,b,i]

然后发现 i[x,min(aax,bbx)],D[a,b,i] 都相等,就可以用整除分块维护答案,共有 O(a+b) 个段。并预处理 μ(i) 的前缀和,即可快速求得答案。

posted @   programmingysx  阅读(30)  评论(0编辑  收藏  举报
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