卡特兰数

卡特兰数：

其对应序列为：

$H_0$	$H_1$	$H_2$	$H_3$	$H_4$	$H_5$	$H_6$	$H_7$	$\cdots$	$H_n$
1	1	2	5	14	42	132	429	$\cdots$	$\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

• $H_n\{\begin{array}{l}\sum _{i=1}^n{H}_{i-1}\times H_{n-i}n\ge 2,n\in {\mathbb{N}}_{\mathbb{+}}\\ 1n=0,1\end{array}$
• $H_n=\frac{H_{n-1}\times (4n-2)}{n+1}$
• $H_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

　

对于一下问题属于 Catalan 数列：

$1$.给定 $n$ 个 $0$ 和 $n$ 个 $1$，排成的长度为 $2n$ 的序列，满足任意前缀序列中 $0$ 的个数都不少于 $1$ 的个数的序列有多少个。(将 $01$ 序列置于坐标系中，起点定于原点。若 $0$ 表示向右走，$1$ 表示向上走，路径上的任意一点，横坐标大于等于纵坐标的合法路径数量。)

$2$.一个栈的进栈序列为 $1,2,3,\cdots ,n$ 有多少个不同的出栈序列？

将进栈视为 $0$ ，将出栈视为 $1$ ，则与第一个问题相同，故答案为 $Ca{t}_n$

$3$.$n$ 个节点，可以构造多少不同二叉树？

设 $f(n)$ 为 $n$ 个节点构成的不同二叉树的数量。
该问题答案为 不同情况下左子树的方案数 $\times$ 对应右子树的方案数 的和。
即 $f(n)=f(0)\times f(n-1)+f(1)\times f(n-2)+\cdots +f(n-1)\times f(0)$
会发现 $f(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i-1)\times f(n-i)$ ，与 $Ca{t}_n$ 的递推式相同，故答案为 $Ca{t}_n$ 。