计数技巧
计数技巧:
等价替代(映射):
构造一个映射,将每一种原问题的方案映射为新问题的一种方案,并使答案更容易计算。
例如捆绑法,插空法,隔板法等。
捆绑法: 也成整体法,即若要求若干物品相邻,可以将他们视作一个整体来计数。
插空法: 如果要求若干物品两两不相邻,可以先将其他物品放好,然后将这些物品插入空挡当中进行计数。
隔板法: 将不可区分物品分配问题、不定方程整数解问题转化为插板组合问题。
例: 把
个相同的苹果分给 个人,要求每人至少分到一个的方案数。(求 的整数解,满足 )
把个苹果排成一排,从左到右一次插入 块板子,共有 个位置可以插入,所以答案为 。
改变计数目标:
如果直接按照题意来计数比较困难,可以尝试通过减法、容斥原理等方法转换成容易求的目标。
改变枚举顺序:
很多时候,计数题要做的基本上是:在某个范围内枚举元素,计算它们的和。直接按照题意来做显然只能拿到暴力分(x), 我们往往需要安排一个合适的顺序来计算。
例: 求
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