计数技巧

计数技巧:

等价替代(映射):

构造一个映射,将每一种原问题的方案映射为新问题的一种方案,并使答案更容易计算。
例如捆绑法,插空法,隔板法等。

捆绑法: 也成整体法,即若要求若干物品相邻,可以将他们视作一个整体来计数。

插空法: 如果要求若干物品两两不相邻,可以先将其他物品放好,然后将这些物品插入空挡当中进行计数。

隔板法: 将不可区分物品分配问题、不定方程整数解问题转化为插板组合问题。

例: 把 n 个相同的苹果分给 k 个人,要求每人至少分到一个的方案数。(求 x1+x2+x3++xk=n 的整数解,满足 xi1)
n 个苹果排成一排,从左到右一次插入 k1 块板子,共有 n1 个位置可以插入,所以答案为 Cn1k1

 

改变计数目标:

如果直接按照题意来计数比较困难,可以尝试通过减法、容斥原理等方法转换成容易求的目标。

 

改变枚举顺序:

很多时候,计数题要做的基本上是:在某个范围内枚举元素,计算它们的和。直接按照题意来做显然只能拿到暴力分(x), 我们往往需要安排一个合适的顺序来计算。

例: 求 i=1nj=1nmax(i,j)

i=1nj=1nmax(i,j)=k=1nk×i=1nj=1n[max(i,j)==k]       =k=1nk×(2k1)    =k=1n(2n+1)kk2=4n3+3n2n6     

posted @   programmingysx  阅读(15)  评论(0编辑  收藏  举报
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