扩展中国剩余定理

参考博客

扩展中国剩余定理：

与中国剩余定理同样，但 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$ 不互质。
我们的思想是想办法实现把两个同余式合成一个，以此类推，将整个同余方程组最后都合并成一个同余式，这样就得到了解。

若 $n=2$ ：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=k_1{m}_1+a_1\\ x=k_2{m}_2+a_2\end{array}(k\in \mathbb{N})$$

$\therefore m_1{k}_1+a_1=m_2{k}_2+a_2\Rightarrow m_1{k}_1-m_2{k}_2=a_2-a_1$

当且仅当 $gcd(m_1,m_2)\mid a_2-a_1$ 时有解，用 $exgcd$ 求得一组解 $(k_1^{\prime },k_2^{\prime })$ ，带入方程组中得 $x=x_0$ 。

$\therefore$ $x$ 的通解为 $x=x_0+z\times \mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(m_1,m_2)$

令 $M=\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(m_1,m_2),A=x_0$ ，则 $x=A+z\times M\Rightarrow x\equiv A(modM)$

这样就把两个同余式换成了一个同余式，以此类推即可求解。

代码

ll exCRT(ll n){
	ll M=m[1],R=r[1],x,y;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		ll a=M,b=m[i],c=((r[i]-R)%b+b)%b;
		ll d=exgcd(a,b,x,y);
		if(c%d) return -1;
		x=ksm(x,c/d,b/d);
		R+=x*M;
		M=a/d*b;
		R=(R%M+M)%M;
	}	
	return (R%M+M)%M;
}

有扩展：若同余式的变量上带系数的考虑。

我们已知前 $i-1$ 组同余方程的解是 $ans$
设 $M=\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(p_1,p_2,\dots ,p_{i-1})$，则有前 $i-1$ 个方程的通解 $ans+Mx,x\in Z$
想得到前 $i$ 组同余方程的解，就是想找到一个 $x$，满足 $b_i(ans+Mx)\equiv a_i(mod{p}_i)$。移项即 $b_{i}Mx\equiv a_i-b_{i}ans$，直接 $exgcd$ 即可。

代码

ll excrt(){
	ll ans=0,lcm=1;
	//b[i]*x\equiv a[i](mod p[i])
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		A = b[i] * lcm % p[i];
		B = p[i];
		C = (a[i]-b[i]*ans%p[i]+p[i]) % p[i];
		exgcd(A, B, x, y, gcd);
		ll g = B / gcd;
		x = (x % g + g) % g;
		if(C % gcd) return -1;
		ll mod = LCM(lcm, g);
		(ans +=(C/gcd) * x % mod * lcm % mod)%=mod; 
		lcm=mod;
	}
}