中国剩余定理（构造）

参考博客

中国剩余定理：

设 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$ 是两两互质的整数。
令$M=\prod _{i=1}^n{m}_i$
$M_i=M/m_i$
$t_i$ 是 $M_i$ 在 $mod{m}_i$ 下的逆元。
对于任意 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 方程组

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$$

的解为 $x=\sum _{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$

$\because M_i=M/m_i$

$\therefore M_i$ 是除 $m_i$ 之外所有模数的倍数

$\therefore \mathrm{\forall }k!=i,a_i{M}_i{t}_i\equiv 0(mod{m}_k)$

$\because a_i{M}_i{t}_i\equiv a_i(mod{m}_i)$

$\therefore x=\sum _{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$​ 可使其成立

模板：

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 12;
typedef long long LL;
LL a[maxn], m[maxn];

void exgcd(LL a1, LL b, LL& x, LL& y)
{
	if(b){
		exgcd(b, a1%b, y, x);
		y -= (a1/b)*x;
		return ;
	}
	x = 1;
	y = 0;
	return ;
}

LL CRT(LL a[], LL m[], int n)
{
	LL M=1, ans=0, Mi, x, y;
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		M *= m[i];
	for(int i=1; i<=n; ++i)
	{
		Mi = M/m[i];
		exgcd(Mi, m[i], x, y); // 求出 Mi 在 模 mi意义下的乘法逆元 
		x = (x%m[i] + m[i]) % m[i]; 
		ans = (ans + a[i]*x*Mi) % M;
	}
	return (ans+M) % M; // 求出最小非负整数解 
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		scanf("%lld%lld", &m[i], &a[i]); // mi是模数， ai是是在模 mi 意义下的同余数 
	LL ans = CRT(a, m, n);
	printf("%lld\n", ans);
}