模运算与逆元

模运算与逆元:

取模定义:

amodn{aan×n     a0(amodn)   a<0

 

取模基本性质:

a0=amodn,b0=bmodn

  • (a+b)modn=((amodn)+(bmodn))modn

a+ba0+b0(modn)

  • (a×b)modn=((amodn)×(bmodn))modn

    a×ba0×b0(modn)

  • 对于任意正整数 k ,有 amodn=(amodkn)modn

  • ka​,有 ak mod n=a mod knk

ak=x

xxn×n=xkxkkn×knk

 

同余:

若整数 a,b 除以正整数 m 的余数相等,则称 a,bm 同余,记为 ab(modm)

逆元:

a 为整数,n 为正整数,若整数 b 满足,ab1(modn),则称 ban​ 的逆元。

  • 当且仅当 gcd(a,n)=1 时, an 的逆元存在。
  • 如果 b1,b2an 的逆元,则必有 b1b2(modn) ,即 an 的逆元在模 n 意义下唯一。

由于 a 的逆元唯一,可记为 a11n 。可以定义 1amodnan 的逆元中绝对值最小的数,并取与 a​ 相同的符号。

 

费马小定理:

对于质数 p 和任意整数 a ,若 gcd(a,p)=1 ,则 apa(modp)

设有数列 S={1,2,3,,p1}Smodp=S

S×a=a,2a,3a,,(p1)a

(S×amodp=(Smodp× amodp)modp(gcd(a,p)=1)

上式=S×(amodp)gcd(p,amodp)=1

i=1p1ii=1p1a×i (modp)

(p1)!ap1×(p1)!(modp)

1ap1(modp)
aap(modp)

 

求逆元:

p 为质数,且 gcd(a,p)=1 ,则 a1ap2(modp) 。 计算时间复杂度 O(logp)

ap11(modp)

a×ap21(modp)

a1ap2(modp)

 

线性求逆元:

代码
	inv[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; ++i) 
		inv[i] = ((-1LL*(p/i) % p ) * inv[p%i] % p + p ) % p;

pmodi=ppi×i

p=pi×i+(pmodi)

0pi×i+(pmodi)(modp)

(pmodi)pi×i(modp)

pi×ip mod i1(modp)

1ipip mod i

 

求阶乘逆元:

代码
	inv[max1]=ksm(jie[max1],mod-2);//根据费马小定理求逆元
	for(int i=max1-1;i>=1;i--){//逆元递推
		inv[i]=cheng(inv[i+1],i+1);
	}

对于已知的 (n+1)! 的逆元,只需将其乘上 n+1 即可得到 n! 的逆元。
1(n+1)!×(n+1)=1n!

 

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