欧拉函数

参考博客

欧拉函数：

定义：

欧拉函数是指 $1\sim N$ 中与 $N$ 互质的数的个数，记为 $\phi (N)$​。
即

$$\phi (x)=\sum _{i=1}^x[\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(i,x)==1]$$

特别的 $\phi (1)=1$

　

性质：

1.若 $x$ 为质数, $\phi (x)=x-1$。

质数除了他本身都与他互质。

2.$\mathrm{\forall }n>1,1\sim n$ 中与 $n$ 互质的数的和为 $n\times \frac{\phi (n)}{2}$ 。

因为 $\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(n,x)==\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(n,n-x)$ ，所以与 $x$ 不互质的数 $x,n-x$ 成对出现，平均值为 $\frac{n}{2}$ ，所以与 $n$ 互质的数的平均值也是 $\frac{n}{2}$ ，而这样的数共有 $\phi (n)$ 个，故得性质2。

3.若 $x=p^k(p$ 为质数$)$ ，则 $\phi (x)=(p-1)\times p^{k-1}$。

发现所有 $p$ 的倍数都与 $x$ 不互质，其他数都与 $x$ 互质，而 $p$ 的倍数共有 $p^{k-1}$ 个(包括 $x$ )。

故$\phi (x)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}$

4.若 $p,q$ 互质,则 $\phi (p\times q)=\phi (p)\times \phi (q)$ ，即欧拉函数为积性函数。

如果 $a$ 与 $p$ 互质 $(a<p)$ ， $b$ 与 $p$ 互质 $(b<q)$ ， $c$ 与 $pq$ 互质 $(c<pq)$ ，则 $c$ 与数对 $(a,b)$ 是一一对应的。

符合条件的 $a$ 有 $\phi (p)$ 种， $b$ 有 $\phi (q)$ 种， 则所对应的 $(a,b)$ 数对有 $\phi (p)\phi (q)$ 种。而符合条件的 $c$ 有 $\phi (pq)$ 种。

所以 $\phi (pq)=\phi (p)\times \phi (q)$

5.对于一正整数 $x=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times ...\times p_n^{c_n}$ 有

$$\phi (x)=x\times \prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$$

证明：

$$\phi (x)=\prod _{i=1}^n\phi (p_i^{c_i})=\prod _{i=1}^n{p}_i^{c_i-1}\times (p_i-1)=\prod _{i=1}^n{p}_i^{c_i}\times (1-\frac{1}{p_i})=x\prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$$

6.若 $p$ 为 $x$ 的质因数，则 $\phi (x\times p)=\phi (x)\times p$

$x\times p$ 的质数集合 $p_i$，与 $x$ 的质数集合相比没有变化。

$$\begin{gathered} \phi (x\times p)=x\times p\times \prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})=x\times \prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})\times p=\phi (x)\times p \\ (p\in [p_i]) \end{gathered}$$

7.若质数 $p$ 不是 $x$ 的因数，则 $\phi (x\times p)=\phi (x)\times (p-1)$

$$\phi (x\times p)=\phi (x)\times \phi (p)=\phi (x)\times (p-1)$$

$$\sum _{d\mid n}\phi (d)=n$$

设 $f(n)=\sum _{d\mid n}\phi (d)$

$\therefore f(a\times b)=\sum _{d\mid ab}\phi (d)$

当 $\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,b)=1$ 时: $\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(\mathrm{\forall }{d}_i\mid a,\mathrm{\forall }{d}_i\mid b)=1$

$\therefore \sum _{d\mid ab}\phi (d)=\sum _{d\mid a}\phi (d)\times \sum _{d\mid b}\phi (d)$

即 $f(a\times b)=f(a)\times f(b)$

$\therefore f(p^m)=\sum _{f\mid p^m}\phi (d)=\sum _{i=0}^m\phi (p^i)=1+\sum _{i=0}^{m-1}(p-1)\times p^i(p$ 为质数$)$
$=1+(p-1)\times (1+p+\cdots +p^{m-1})$
$=1+(p-1)\times \frac{1-p^m}{1-p}=p^m$

$\therefore f(p^m)=p^m$

$\therefore f(n)=f(\prod _{i=1}^n{p}_i^{c_i})=\prod _{i=1}^{n}f(p_i^{c_i})=\prod _{i=1}^n{p}_i^{c_i}=n$

$\therefore \sum _{d\mid n}\phi (d)=n$

　

代码：

1.求解单个欧拉函数：利用性质 $5$ ，时间复杂度 $O(\sqrt{n})$ 。

代码

int phi(int n) {
	int ans = n;
	int t = sqrt(n);
	for(int i=2; i<=t; ++i) {
		if(n%i == 0)
			ans = ans/i*(i-1);
		while(n%i == 0) n /= i;
	}
	if(n > 1) ans = ans/n/(n-1);
	return ans;
}

　

2. 埃氏筛求 $1\sim n$的欧拉函数值，时间复杂度 $O(n\log n)$

代码

void found_euler(int n) {
	for(int i=1; i<=n; ++i) phi[i] = i;
	for(int i=2; i<=n; ++i) {
		if(phi[i] == i) { // i为质数 
			for(int j=i; j<=n; j+=i) // 给包含质因子i的数字，乘上 (1-1/i) 
				phi[j] = phi[j]/i*(i-1); 
		}
	}
} 

　

3.欧拉筛求 $1\sim n$ 的欧拉函数值，时间复杂度 $O(n)$

代码

int phi[N],pr[N],cnt;
bool vis[N];
void init(){
	int n=1e5+50;
	phi[1]=1; 
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){pr[++cnt]=i,phi[i]=i-1;}
		for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]<=n/i;j++){
			vis[i*pr[j]]=1;
			phi[i*pr[j]]=phi[i]*((i%pr[j])?pr[j]-1:pr[j]); 
			if(i%pr[j]==0)break;
		} 
	}
}

　

GCD SUM

求

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)$$

原式可化为

$$\begin{array}{l}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{d\mid gcd(i,j)}\phi (d)\\ =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\sum _{d=1}^n\phi (d)[d\mid i][d\mid j]\\ =\sum _{d=1}^n\phi (d)\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[d\mid i][d\mid j]\\ =\sum _{d=1}^n\phi (d)\lfloor \frac{n}{d}{\rfloor }^2\end{array}$$

　

GCD：

给定正整数 $n$ 求 $1\le x,y\le n\mathrm{\&}\mathrm{\&}gcd(x,y)\in prime$ 的数对有多少。

$$\begin{array}{l}=\sum _{p\in prime}\sum _{i=1}^n\sum {j=1}^n[gcd(i,j)=p]\\ =\sum _{p\in prime}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\sum {j=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }[gcd(i,j)=1]\\ =\sum _{p\in prime}(\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }(2\times \sum {j=1}^i[gcd(i,j)=1])-1)\\ =\sum _{p\in prime}(2\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\phi (i)-1)\end{array}$$

　

Longge 的问题

求

$$\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)$$

$$\begin{array}{l}=\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)\\ =\sum _{d\mid n}d\times \sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=d]\\ =\sum _{d\mid n}d\times \sum {i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }[gcd(i,\frac{n}{d})=1]\\ =\sum _{d\mid n}d\times \phi (\frac{n}{d})\end{array}$$