整除分块

整除分块：

例题：

已知 $f(n)=\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$，给定 $n$，求 $f(n)$ 的值。

固然可以 $O(n)$ 暴力，但显然会$TLE$。

计算一下前几项的值之后可以发现$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的取值在连续的一段区间内是相同的，那么就可以将其分为若干块分别进行计算。

先让 $l$ 为区间的左端点，那么这块的值都为 $k=\lfloor \frac{n}{l}\rfloor$ ， $r=max(i)=\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$。将 $k$ 代入，得到 $r=\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$。这样每一块的左右端点都能用确定的式子得到了。这样分块的值就为单值 $\times$ 区间长度，即 $k\times (r-l+1)$ 。

　

模板：

代码

ll division_block(ll n){
	ll res = 0;
    for(ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1){
        r = n / (n / l);
        res += n / l * (r - l + 1);
    }
    return res;
}