20231017

20231017 NOIP#22总结

时间安排

7:50~8:25

看题，\(A\) 会最一档，\(B,D\) 不会。

8:25~8:40

写 \(A\) 最低档的暴力。

8:40~9:30

想了一会 \(A\) 感觉不太能延伸了，写 \(B\) 的 \(n^2\) 暴力。

9:30~10:00

写 \(C\) 链的特殊性质

10:00~10:40

想了个 \(D\) 的做法假了，写个爆搜结束了。

10:40~11:50

罚坐中——最后 \(C\) 斜挂了。

总结反思

• 想不出来就检查检查暴力尝试优化

题解

A.DP

这个 \(DP\) 非常厉害！
设 \(f[i]\) 表示第 \(i\) 天结束了，目前从能力为 \(0\)，未来能达到目标的概率。（一看这个状态就非常厉害

考虑将整个序列划分为几个连续段，设第 \(i\) 个段的长度为 \(l_i\)，权值和为 \(s_i\)，则整个序列的答案为：

\[\sum_{i=1}^n (\ \frac{s_i}{1000} \times (\prod_{j=1}^{i-1} (1-\frac{s_i}{1000})) \times (\prod_{j=1}^i (1-p)^{l_j})\ ) \]

考虑倒着 \(DP\)，设 \(s[i]\) 为前 \(i\) 个的权值和，转移方程为

\[f[i]=\max\{f[j]\times (1-p)^{j-i}\times (1.0-(s[j-1]-s[i-1]))+(1-p)^{j-i}\times (s[j-1]-s[i-1])\} \]

后面一大串化简一下其实是和答案的式子是一样的。

在考虑若 \(s[j-1]-s[i-1]\geq 1000\) 那在这个地方断开答案显然不会更差，对于所有能力为 \(0\) 的点直接忽略，所以每个 \(i\) 最多转移 \(1000\) 次，复杂度是 \(O(1000n)\) 可过。

B.主席树

按 \(a_i\) 从小到大处理，以 \(a_i\) 为阶段建主席树，对于每个 \(a_i\) 将其影响到的区间（即 \([\max(i-m+1,1),i]\)）区间加一，询问就是第 \(x\) 个版本中区间 \([l,r]\) 的最大值。

C.bitset优化+构造

定义叶子为度数为 \(1\) 的点，否则为非叶子点。
\(1.\) 若不存在非叶子点，则 \(n==2\)，直接输出.
\(2.\) 若只有一个非叶子点，那么所有点的集合都是 \(\{1,2,\cdots,n\}\)，特判直接输出。

其他情况时，若两个非叶子点 \(x,y\) 之间存在边，当且仅当存在两个集合交集为 \(\{x,y\}\)，据此可以得到所有非叶子点的连边。
对于每个叶子节点，所有包含它的集合中，集合最小的一定是叶子。去掉一个叶子节点集合中所有叶子结点，就是其父亲直接相连的非叶子点的集合。据此可以得到所有的叶子结点和对应的父亲。

D.折半搜索+高位前缀和

首先特判 \(m=0\)
以 \(0,1,2,3,4\) 分别代表“白色边”、“紫色边”、“黑色边”、“白色点”、“紫色点”。

要求 \(012\) 每个至少一个，则答案为 \(\{012\}-\{12\}-\{02\}-\{01\}+\{2\}+\{1\}+\{0\}-\{\emptyset\}\) （\({x}\) 表示出现 \(x\) 的方案数。

设 \(cnt\) 为联通块数，\(sep\) 为独立节点数。则有显然的几个答案为：

\[\{012\}=2^n\ \ \{02\}=2^{cnt}\ \ \{2\}=2^{sep}\ \ \{0\}=2^{sep}\ \ \{\emptyset\}=0 \]

考虑 \(\{1\}\)，等价于将图黑白染色，如果可行则方案为 \(2^{cnt}\)，否则为 \(0\)。

考虑 \(\{01\}\) 和 \(\{12\}\) 情况一样，以 \(\{12\}\) 为例，即图中没有相邻都为 \(3\) 的点。
将 \(n\) 个点折半搜索，\(f[s]\) 状压表示后半部分中（当然那一半都行）满足条件的点集为 \(s\) 的方案。设右半部分点的全集为 \(U\)，再搜索前半部分，当搜索到合法点集 \(t\) 时，统计 \(t\) 中的点与右半部分相邻的点的点集为 \(T\)。

\[\{12\}+=\sum_{s\subset \complement_U T} f[s] \]

后面这个 \(\sum\) 可以预处理高位前缀和解决。