20231015

20231015 NOIP#21总结

时间安排

7:50~8:20

看题，\(A\) 一眼切了，\(B\) 会一点暴力，\(C,D\) 没有想法。

8:20~8:50

写 \(A\) 的正解。

8:50~9:50

写 \(B,C\) 的暴力和特殊性质。

9:50~11:00

一直在想 \(B\)，想出来了 \(B\) 的正解写了，但是特判和分段挂了。

11:00~11:50

写了 \(D\) 的爆搜，然后一直在 （罚坐） 想 \(C,D\) 但一点多的都不会。

总结反思

• 为什么不拍 \(B\)

题解

A.最短路

超级源点板子。

B.组合

对于一个极大的包含 \(k\) 个 \(1\) 的长度为 \(n\) 的区间，方案数为 \(C_n^k\)。
但是区间会有重合的部分，设第 \(i\) 的段和第 \(i+1\) 个段相交的长度为 \(l\)，有 \(x\) 个 \(1\)，则应减去 \(C_l^x\)。若多个区间重合，只需要考虑相邻的两个区间即可，因为多次重合的区间会在考虑后面的段时被一起减掉。

C.最短路径图

建出从 \(S\) 到 \(T\) 的最短路径图，并预处理 \(U,V\) 到所有点的单源最短路，答案即为 \(\min\{dis(U,x)+dis(y,V)\}\) 其中 \(x,y\) 位于最短路径图的同一条链上。最短路径图是一个 \(DAG\)，这个问题可以通过对其做 \(DP\) 解决。代码

D.点分治

设 \(f[x]\) 表示离 \(x\) 最近的魔法使的点（后面称为坏点）到 \(x\) 的距离。则对于满足 \(dis(u,v)<f[v]\) 的点 \(v\)，\(u\) 都可以走到 \(v\) 然后不动，除非 \(u\) 本身就是坏点，所以 \(u\) 节点的答案就是 \(\max_{dis(u,v)<f[v]}\{f[v]\}\)。
即对于任意点 \(u\)，将所有距离 \(u\) 点小于 \(f[u]\) 的节点答案都对 \(f[u]\) 取 \(\max\)，这个可以通过点分治解决。代码