Algorithm homework 1

一、已知下列递推式：

\[C(n)= \begin{cases} 1 & , & n = 1 \\ 2C(n/2) + n - 1& , & n \geq 2 \end{cases} \]

请由定理1 导出C(n)的非递归表达式并指出其渐进复杂性.

定理1：设\(a,c\)为非负整数，\(b,d,x\)为非负常数，并对于某个非负整数\(k\), 令\(n=c^k\), 则以下递推式

\[f(n)= \begin{cases} d & , & n=1 \\ af(n/c)+bn^x& , & n\geq2 \end{cases} \]

的解是

\[f(n)= \begin{cases} bn^xlog_cn + dn^x & , & n=1 \\ \left( d + \frac{bc^x}{a-c^x} \right)n^{log_ca} - \left( \frac{bc^x}{a-c^x}\right)n^x& , & n\geq2 \end{cases} \]

---

令 \(T(n) = C(n) - 1\)，则

\[T(n)= \begin{cases} 0 & , & n = 1 \\ 2T(n/2) + n & , & n \geq 2 \end{cases} \]

则\(T(n)\)满足定理1中递推式，且\(a = 2, b = 1, c = 2, d = 0, x = 1\), 即有\(2 = 2^1\)
故当\(n = 2^k\)时，\(T(n)\)的解为

\[T(n) = nlog_2n \]

则\(C(n)\)的非递归表达式为

\[C(n) = T(n) + 1 = nlog_2n + 1 \]

所以其渐进复杂性为\(\Theta(nlog_2n)\)

二、由于Prim算法和Kruskal算法设计思路的不同，导致了其对不同问题实例的效率对比关系的不同。请简要论述：

1、如何将两种算法集成，以适应问题的不同实例输入；

Prim算法基于每个点, 要遍历所有的点。
Kruskal算法基于边, 要遍历许多边。
因此可以在边比较稀疏的情况下用Kruskal算法,在边较稠密的情况下使用Prim算法.

2、你如何评价这一集成的意义？

​ 通常实现下Prim是\(O(V^2)\)的时间复杂度，但可以使用优先队列将时间复杂度优化到\(O(Elog_2V)\)，而Kruskal使用排序+并查集实现的复杂度为\(O(Elog_2E)\),两者最优时间复杂度差别仅为log级别的，且Prim平均情况下效果会更好。因此这一集成大概只是增加了代码复杂度，仅用Prim算法的效果可能会更好。

三、分析以下生成排列算法的正确性和时间效率：

HeapPermute(n)
    //实现生成排列的Heap算法
    //输入：一个正整数n和一个全局数组A[1..n]
    //输出：A中元素的全排列
    if n = 1
        write A
    else
        for i ← 1 to n do
            HeapPermute(n-1)
            if n is odd
                swap A[1] and A[n]
            else swap A[i] and A[n]

1. 正确性

设 k 为正整数且 \(k \leq n\),记\(A[1..n]\)为\(A=[a_1, a_2, \cdots, a_n]\)

我们有以下结论：在执行算法\(HeapPermute(k)\)后, 输出 A 前 k 位的全排列，后\(n − k\)位不变。(特别地, 当 k = n 时, 输出的就是 A 的全排列。) 执行算法\(HeapPermute(k)\)前后, 当 k 为奇数时, A 保持不变；当n为偶数时, A 的前 k 位循环右移一位。

下面数学归纳法证明该结论：
证明：

• (1) 当\(k = 1\)时，算法\(HeapPermute(k)\)输出\([a_1, a_2, \cdots, a_n]\)，与结论相符。
• (2) 假设当$k = 2j - 1(j \(为正整数\))\(，且\)k < n \(时，执行\)HeapPermute(k)\(输出 A 前 k 位的全排列，后\)n − k\(位不变，且A保持不变。则当\)k = 2j\(时，对于\)i = 1, 2, \cdots, 2j$时，分别输出A的前\(2j-1\)位的全排列,A的后\((n - 2j + 1)\)位不变，程序向下执行到第10行，由于n为偶数，则\(swap(a_i,a_{2j})\)。之前所有操作仅改变A数组的前\(2j\)位，然后输出\(2j - 1\)位，后后\((n - 2j + 1)\)位不变。最后依次将A的第\(1, 2, \cdots, 2j\)位交换到第2m位。因此上述操作得到了A的前2j位的全排列且前2j位循环右移一位，后\(n-2j\)位不变。与结论相符。
• (3) 假设当\(k = 2j(j\)为正整数\()\)，且\(k < n\)时，，执行\(HeapPermute(k)\)输出 A 前 k 位的全排列，后\(n − k\)位不变，且 A 的前 k 位循环右移一位。类似的可得到当\(k=2j+1\)时, A 保持不变。

因此结论得证，执行算法HeapPermute(n)可以输出全局数组\(A = [1..n]\)的全排列。

2. 时间效率

考虑交换操作的耗时，有递推公式如下：

\[T(n)= \begin{cases} 1 & , & n = 1 \\ n\left[T(n - 1) + 1\right] & , & n \geq 2 \end{cases} \]

化简得\(T(n) = n! + O(n^{n-1})\)

故\(T(n)\)的时间复杂度为\(O(n!) + O(n^{n-1})\)

四、对于求n 个实数构成的数组中最小元素的位置问题，写出你设计的具有减治思想算法的伪代码，确定其时间效率，并与该问题的蛮力算法相比较。

FindMin(n)
    //实现寻找数组中最小元素的位置
    //输入：一个正正整数n和一个全局数组A[1..n]
    //输出：A中最小元素m及其位置a
    if n == 1：
        return A[1], 1
    else
        m, a = FindMin(n-1)
    if m <= A[n]:
        return m, a
    else
        return A[n], n

上述减治方法每次将问题的规模约减1，因此时间复杂度为\(O(n)\),与该问题的蛮力算法时间复杂度相同。

五、请给出约瑟夫斯问题的非递推公式 J（n），并证明之。其中，n 为最初总人数，J(n) 为最后幸存者的最初编号。

约瑟夫问题的非递推公式为：

\[J(n) = 1 + 2(n - 2^{\lfloor log_2n \rfloor}), \ n = 1, 2, 3, \cdots \]

令\(m = {\lfloor log_2n \rfloor}\)，\(l = n - 2^m，\)则\(J(n) = 2l+1\)
首先我们很容易知道该问题的通项公式为

\[\begin{array}{l} J(2n) = 2J(n) - 1 & , & n 为偶数 \\ J(2n + 1) = 2J(n) + 1 & ,& n为奇数 \end{array} \]

下用归纳法证明该通项。
证明

1. 当\(n = 1\)时，上式显然成立。
2. 假设\(n\)是偶数，取\(m_1、l_1\)使得\(n/2=2^{m_{1}}+l_{1}\)，且\(0\leq l_{1}<2^{{m_{1}}}\)。这里\(l_{1}=l/2\)。我们有\(f(n)=2f(n/2)-1=2((2l_{1})+1)-1=2l+1\)，其中第二个等式从归纳假设推出。
3. 假设\(n\)是奇数，则我们选择\(l_{1}\)和\(m_{1}\)，使得\((n-1)/2=2^{{m_{1}}}+l_{1}\)，且\(0\leq l_{1}<2^{{m_{1}}}\)。注意\(l_{1}=(l-1)/2\)。我们有\(f(n)=2f((n-1)/2)+1=2((2l_{1})+1)+1=2l+1\)，其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。

综上，对所有的自然数n，原结论成立。证毕。