时频分析

时频分析用于考察一类谱（频率）的成分随时间变化的信号。

概述

物理信号中有很大一部分属于非平稳信号。傅里叶变换建立起了时域和频域之间的对应关系，但它不能提供信号频率分量的时间定位。从总体上表示出观察周期内所有出现频率的同时，不能指示出这些频率出现的确切时间。

时频分析方法将信号表述成时间和频率的二元函数，其目的是发现信号能力在时间局域和频率局域上的分布。这些分布可能满足也可能不满足某些关心的数学性质，例如所谓的“边际方程”。

信号在时刻\(t\)的瞬时功率为:
\(|S(t)|^2\)在时刻\(t\)每单位时间的能量或强度
\(|S(w)|^2\)在频率\(w\)处单位频率的能量或强度
\(P(w,t)\)每单位时间和每单位频率的能量或强度
理想情况下，在所有频率下对能量分布求和，应当得到即时功率：

\[\int_{-\infty}^{+\infty}P(w,t)dw=|S(t)|^2 \]

而在所有时间下求和，应当得到能量密度谱：

\[\int_{-\infty}^{+\infty}P(w,t)dt=|S(w)|^2 \]

这就是所谓的“边际方程”。有多种分布都能满足，但彼此却有不同的属性。一般有两种时频分析技术：线性时频分析技术和二次型（双线性）时频分析技术。

线性时频分析

这是一种满足线性原理的分析技术。设\(x_1\)和\(x_2\)为两个独立信号，\(T(t,f)\)为线性时频表示。则有

\[x(t)=c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\Rightarrow T_{x}(t,f)=c_{1}T_{x_1}(t,f)+c_{2}T_{x_2}(t,f) \]

下面讨论两种线性时频分析技术

1. 短时傅里叶变换

STFT是研究时变信号的一种标准方法。它选择相对短的观察周期并对其加时窗后计算该段时间内的频率。然后，让观察窗沿着总时间轴移动，从而得到一系列竖向灰带中包含的谱。

时间信号\(s(t)\)倍乘窗函数\(g(t)\)后，定位在时间\(\tau\)的短时傅里叶变换式为

\[STFT(\tau,w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-jwt}s(t)g^{*}(t-\tau)dt \]

如果可以这样来选择观察周期，认为观察周期内的信号是平稳的，那么STFT这一技术是可靠的。然而，也存在一种广域信号，其频率成分的变化非常迅速，以至于对观察周期的研究短到难以接受的程度。

这种技术的另一个缺点是，对整个时域信号总是用同一宽度的时窗去分析，从而保持固定不变的频率分辨率（\(\Delta f=1/T\)）。这种固定的关系，意味着必须在频率分辨率和时间分辨率之间做出权衡。如果碰到一种由准稳态长周期信号与混在在其中的短促猝发信号复合成的信号时，要分析出其中每种信号的成分，就必须同时有细的时间分辨率和高的频率分辨率，而实际上却难以两全。

从另一个角度来观察和计算STFT,就是将它表示为信号\(S(w)\)和窗函数\(G(w)\)积的逆傅里叶变换。这时就变为

\[STFT(\tau,w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-j\theta \tau}S(\theta)G^{*}(w-\theta)d\theta \]

与前面的讨论相类似，频率窗沿着频率轴移动得到对整体时间信号的频率映射。这些带可看作是带通滤波器的通带，该滤波器的脉冲响应函数与窗函数相对应。

2.小波变换

短时傅里叶变换采用不变的分析窗，使得对某些非平稳信号的分析难以在时间分辨率和频率分辨率之间妥善地彼此兼顾。小波变换技术可以解决这样的问题。

实际上，傅里叶变换是把信号分解为一系列基函数，该基函数就是不同频率的正弦波。小波变换也是将信号分解为一系列基函数，但基函数不再是正弦波，而是所谓的小波。这些基函数在时间上更加集中，能得到信号能量更确切的时间定位。先定义一种称为“原象小波”的基函数，再通过一个“尺度因子”来扩展或收缩该原象函数，就得到分析所需的一系列基函数。

这促成了连续小波变换的定义。设\(h(t)\)为定位在时间\(t_{0}\)和频率\(w_{0}\)处的原象函数（小波基），变尺度基函数由下式给出：

\[h_{a}(t)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}h(\frac{t}{a}) \]

式中，\(\alpha\)是尺度因子，由\(w_{0}/w\)给定。

连续小波变换（CWT）由式定义：

\[CWT(a,t)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}\int_{-\infty}^{\infty}s(\tau)h(\frac{\tau-t}{a})d\tau \]

式中，\(\tau\)是时间定位。

采用尺度因子来扩展或压缩小波基，形成在高频窄、低频宽的分析窗。如图，将STFT比作一恒带宽的带通滤波器组。按相同的概念，小波变换可视为一恒百分比带宽的滤波器组，即\(\Delta f/f\)为常数，说明其频率分辨率和时间分辨率均允许变化，即可实现多分辨率的分析。

事实上，这种信号分析方法是一种十分自然的途径。低频是一种随时间缓慢变化的现象，只需粗的时间分辨率，细的时间分辨率可能损害高的频率分辨率。高频则是随时间快速变化的现象，因而时间的尺度变得十分重要。对此，小波分析正好可以在损失频率分辨率的前提下，提高时间分辨率。这种类型的分析与人耳听觉过程也有着十分密切的联系，因为人耳是以倍频程带来分析声音的。

3.二次型（双线性）时频分析

虽然线性是人们希望有的性质，然而在许多情况下，更关心的是如何用时频表示来阐明时频能量分布，而能量分布本身就是二次型信号表示。这种类型的时频表示可以揭示出许多数学性质，但先要讨论一下双线性原理及其推论。

假设\(T_{x}(t,f)\)与\(T_{y}(t,f)\)分别代表\(x(t)\)和\(y(t)\)的时频表示，\(z(t)\)为\(x(t)\)和\(y(t)\)的线性叠加：

\[z(t)=c_1x(t)+c_2y(t) \]

则

\[T_z=|c_1|^2T_x+|c_2|^2T_y+c_1c_2T_{xy}+c_2c_1T_{yx} \]

式中右边前两项视为“信号项”，后面项为“干涉项”。干涉项需满足某些数学上的性质，如“边际方程”，但常常难以对结果做出解释。

二次型时频表示的两个特例是“谱图”（Spectrogram）和“尺度图”（Scalogram）。它们分别定义为短时傅里叶变换（STFT）和小波变换（WT）幅值的二次方。

当两种表示的干涉项，仅当不同信号分量重叠时才存在。因此，如果信号分量在时间/频率平面上分开得足够远，干涉项将实质上等于零。对于能量定位的定性评估来说，当两种表示都不满足边际方程时也无妨。

为了能充分解释时频分析结果，常常将STFT或WT技术与其二次型技术结合，从“干涉项”中分离出“信号分量”。

1.Wigner-Ville分布（WVD）

在所有具有能量化解释的二次型时频分析技术中，WVD满足大多数所希望的数学性质，实际信号\(s(t)\)的WVD定义为

\[W(w,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}s(t-\frac{\tau}{2})e^{-j\tau w}s(t+\frac{\tau}{2})d\tau \]

式中，\(\tau\)是局部时间。在式中，计算任意时刻\(t\)的WVD值，实质上是以先于该时刻的数据段，乘上后于该时刻的数据段，再积分求和的。据此不难理解WVD的多项特性。上述运算，也可想象为将\(t\)左边的数据段，折叠到\(t\)右边的数据段的前端，其相重叠的数据彼此相乘，再积分求和，由此而得到WVD的值。

若以谱表示WVD，则定义为

\[W(w,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}s(w-\frac{\theta}{2})e^{-jt\theta}s(w+\frac{\theta}{2})d\theta \]

式中，\(\theta\)是局部频率。

这种分布满足边际方程，且为实值函数。而信号的时移和频移会引起WVD的相应偏倚。

WVD的第一个特性就是：对于有限长度的信号而言，相应于信号起始端之前及其末端之后所有时刻的WVD值均为零。在考虑频域上的限带信号时，同样可以认为超越该频率范围的WVD值均等于零。

通常可以这么说：某时刻的信号值为零，但其WVD值却往往不为零，这一不良特性使得对信号的诠释变得困难，尤其是分析包含多种分量的信号时更甚。噪声可以扩散到信号中很宽的时间段内。

用同样的理由可以解释沿频率轴出现的干涉项，尤其当信号在某时刻同时存在多个频率分量的情况下，在各分量频率间的中间频率处，会形成频率干涉项。如前所述，这些干涉项可依据其振荡属性很容易地辨认出来，并采用平滑技术缩小其影响。下面将讨论某些可实施的平滑技术。

2.广义化

WVD的广义化，引导出时频表示的统一形式。它们具有所希望的主要数学性质，如它们在时移、频移及时、频尺度展缩运算中的不变性，即信号的时移或频移导致信号时频表示中的等量偏倚，而信号的尺度变化导致时频表示相应的尺度变化。

时频表示最普遍的形式一般可定义为

\[T_{x}(t,f)=\int_{t'}\int_{f'}\psi_{T}(t-t',f-f') W_{x}(t',f') dt'df' \]

式中，\(W_{x}(t',f')\)是信号\(x(t)\)的Wigner-Ville分布，而\(\psi_{T}\)则称为“核函数”。核函数的不同选择，决定了由一般定义所导出的各种特定时频表示的基本特性。核函数也可视为对WVD所施加的平滑函数。