Andrew Ng -- machine learning -- Linear Regression --- ex1/吴恩达机器学习ex1

 

这个项目包含了吴恩达机器学习ex1的python实现，主要知识点为线性回归，题目内容可以查看数据集中的ex1.pdf
代码来自网络（原作者黄广海的github），添加了部分对于题意的中文翻译，以及修改成与习题一致的结构，方便大家理解
其余练习的传送门

 

 

项目 fork 地址： https://github.com/fengdu78/Coursera-ML-AndrewNg-Notes/blob/master/code/ex1-linear%20regression/ML-Exercise1.ipynb

In [1]:
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
 
/opt/conda/lib/python3.6/importlib/_bootstrap.py:219: RuntimeWarning: numpy.dtype size changed, may indicate binary incompatibility. Expected 96, got 88
  return f(*args, **kwds)
/opt/conda/lib/python3.6/importlib/_bootstrap.py:219: RuntimeWarning: numpy.dtype size changed, may indicate binary incompatibility. Expected 96, got 88
  return f(*args, **kwds)
 

1 简单练习

输出一个5*5的单位矩阵

 
In [2]:
A = np.eye(5)
A
Out[2]:
array([[1., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 1.]])
 
 

2 单变量的线性回归

整个2的部分需要根据城市人口数量，预测开小吃店的利润
数据在ex1data1.txt里，第一列是城市人口数量，第二列是该城市小吃店利润。

 

2.1 Plotting the Data

读入数据，然后展示数据

In [3]:
path =  '/home/kesci/input/andrew_ml_ex14179/ex1data1.txt'
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
data.head()
Out[3]:
 
 PopulationProfit
0 6.1101 17.5920
1 5.5277 9.1302
2 8.5186 13.6620
3 7.0032 11.8540
4 5.8598 6.8233
 
In [4]:
data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8))
plt.show()
 
 
 

2.2 梯度下降

这个部分你需要在现有数据集上，训练线性回归的参数θ

 
 

2.2.1 公式

 

 

In [5]:
def computeCost(X, y, theta):
    inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
    return np.sum(inner) / (2 * len(X))
#这个部分计算J(Ѳ)，X是矩阵
 
In [ ]:
def computeCost2(X, y, theta):
    #
    #
#不看上面cell，尝试自己实现一下
 
In [ ]:
computeCost(X, y, theta)
Out[ ]:
32.072733877455676
 
In [ ]:
computeCost2(X, y, theta)
#实现好之后，用相同的方法调用一遍看答案是否一致
 
 

2.2.2实现

数据前面已经读取完毕，我们要为加入一列x，用于更新θ0，然后我们将θ初始化为0，学习率初始化为0.01，迭代次数为1500次

In [6]:
data.insert(0, 'Ones', 1)
 
 

现在我们来做一些变量初始化。

In [7]:
# 初始化X和y
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,:-1]#X是data里的除最后列
y = data.iloc[:,cols-1:cols]#y是data最后一列
 
 

观察下 X (训练集) and y (目标变量)是否正确.

 
In [8]:
X.head()#head()是观察前5行
Out[8]:
 
 OnesPopulation
0 1 6.1101
1 1 5.5277
2 1 8.5186
3 1 7.0032
4 1 5.8598
 
In [9]:
y.head()
Out[9]:
 
 Profit
0 17.5920
1 9.1302
2 13.6620
3 11.8540
4 6.8233
 
 

代价函数是应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和Y，然后才能使用它们。 我们还需要初始化theta。

In [10]:
X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
theta = np.matrix(np.array([0,0]))
 
 

看下维度

In [11]:
X.shape, theta.shape, y.shape
Out[11]:
((97, 2), (1, 2), (97, 1))
 
 

2.2.3计算J(θ)

计算代价函数 (theta初始值为0)，答案应该是32.07

 
 

2.2.4 梯度下降

记住J(θ)的变量是θ，而不是X和y，意思是说，我们变化θ的值来使J(θ)变化，而不是变化X和y的值。
一个检查梯度下降是不是在正常运作的方式，是打印出每一步J(θ)的值，看他是不是一直都在减小，并且最后收敛至一个稳定的值。
θ最后的结果会用来预测小吃店在35000及70000人城市规模的利润。

 
In [13]:
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
    parameters = int(theta.ravel().shape[1])
    cost = np.zeros(iters)
    
    for i in range(iters):
        error = (X * theta.T) - y
        
        for j in range(parameters):
            term = np.multiply(error, X[:,j])
            temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
            
        theta = temp
        cost[i] = computeCost(X, y, theta)
        
    return theta, cost
#这个部分实现了Ѳ的更新
 
 

初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数，2.2.2中已经提到。

In [14]:
alpha = 0.01
iters = 1500
 
 

现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。

In [15]:
g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
g
Out[15]:
matrix([[-3.63029144,  1.16636235]])
 
In [16]:
predict1 = [1,3.5]*g.T
print("predict1:",predict1)
predict2 = [1,7]*g.T
print("predict2:",predict2)
#预测35000和70000城市规模的小吃摊利润
 
predict1: [[0.45197679]]
predict2: [[4.53424501]]
In [17]:
x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()
#原始数据以及拟合的直线
 
 
 

2.4 可视化J(θ)

此步可以便于你理解J(θ)以及梯度下降。
三维图显示了θ0和θ1与J(θ)的对应关系，J(θ)是一个碗状的图形，并且有全局最小值。这个最小值就是θ0和θ1的最优解。梯度下降的每一步都会更接近这个最小值

并不会用python复现，截个图意思一下

Image Name

 
 

3 多变量线性回归

ex1data2.txt里的数据，第一列是房屋大小，第二列是卧室数量，第三列是房屋售价
根据已有数据，建立模型，预测房屋的售价

 
In [18]:
path =  '/home/kesci/input/andrew_ml_ex14179/ex1data2.txt'
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])
data2.head()
Out[18]:
 
 SizeBedroomsPrice
0 2104 3 399900
1 1600 3 329900
2 2400 3 369000
3 1416 2 232000
4 3000 4 539900
 
 

3.1 特征归一化

观察数据发现，size变量是bedrooms变量的1000倍大小,统一量级会让梯度下降收敛的更快。做法就是，将每类特征减去他的平均值后除以标准差

In [19]:
data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()
Out[19]:
 
 SizeBedroomsPrice00.130010-0.2236750.4757471-0.504190-0.223675-0.08407420.502476-0.2236750.2286263-0.735723-1.537767-0.86702541.2574761.0904171.595389
 

3.2 梯度下降

 
In [20]:
# 加一列常数项
data2.insert(0, 'Ones', 1)

# 初始化X和y
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]

# 转换成matrix格式，初始化theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))

# 运行梯度下降算法
g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)
g2
Out[20]:
matrix([[-1.10856950e-16,  8.84042349e-01, -5.24551809e-02]])
 

3.3 正规方程

正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：∂∂θjJ(θj)=0 。
假设我们的训练集特征矩阵为 X（包含了x0=1）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量 θ=(XTX)−1XTy 。
上标T代表矩阵转置，上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵A=XTX，则：(XTX)−1=A−1

梯度下降与正规方程的比较：

梯度下降：需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型

正规方程：不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算(XTX)−1，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为O(n3)，通常来说当n小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型

 
In [21]:
# 正规方程
def normalEqn(X, y):
    theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)
    return theta
 
In [22]:
final_theta2=normalEqn(X, y)#这里用的是data1的数据
final_theta2
Out[22]:
matrix([[-3.89578088],
        [ 1.19303364]])
 
In [23]:
#梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214,  1.1272942 ]])
posted @ 2023-03-13 18:38  ￣□￣  阅读(96)  评论(0)  编辑  收藏  举报