一个简单棋盘覆盖定理的证明

能够用 $1\times l$ 的矩形覆盖 $n\times m$ 棋盘的充要条件是 $l\mid n\vee l\mid m$。

充分性显然，考虑证明必要性。
为了方便，我们将行和列记为 $0\sim n-1$ 和 $0\sim m-1$。考虑设 $(i,j)$ 的权值为 ${\omega }_l^{i+j}$，一个 $1\times l$ 的矩形覆盖的区域显然和为 $0$。

则棋盘权值总和为

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{m-1}{\omega }_l^i{\omega }_l^j\\ =& \left(\sum _{i=0}^{n-1}{\omega }_l^i\right)\left(\sum _{i=0}^{m-1}{\omega }_l^i\right)\end{array}$$

当 $l\nmid n\wedge l\nmid m$ 时显然上式不为 $0$，即证。