“科大国创杯”2023 年安徽省青少年信息学科普日活动 初中组 T4 题解

注意到对于全局最小值 $x$ ，一旦我们可以合并它，我们一定会优先合并，因此 $x$ 和与 $x$ 相邻且更靠近起点的位置构成一个决策整体，定义为广义节点。

合并一个广义节点的贡献为 $x\times sz+c$，然后会让 $x\leftarrow x+a$。
考虑比较先后合并两个广义节点 $x,y$ 的决策优劣，可以发现相当于比较广义节点平均值的大小。

考虑分开维护左右两侧，相当于每次将最小的 $x$ 向起点合并，如果碰到起点就删去该块，然后会形成若干个块，考虑维护最终块的形态。

以左边为例，考虑从左向右扫描，尝试计算新加入一个数 $x$ 对于局面的影响。

若 $x$ 小于等于其左侧块的平均数，那么 $x$ 会形成一个新的块。
若 $x$ 大于其左侧块的平均数，则 $x$ 会被合并到左边的块中。但是这次合并可能会造成这个块会被倒数第二个块合并，因此还需继续操作。

注意到数据随机，所以栈高不超过 $\mathcal{O}(\log n)$，所以直接暴力做即可。

如果数据不随机，可以动态维护 $f(x)$ 函数做到均摊 $\mathcal{O}(n\log n)$

Upd：发现前半部分实际上是 [HNOI/AHOI2018]排列 的特殊情况。