P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿

\(\mathcal Link\)

考虑建立异或方程组，则最终状态为该方程组的一个解，第 \(i\) 个方程形如 \(\displaystyle \bigoplus_{i\mid d} x_d=a_i\)。

这些方程构成的向量线性无关，证明如下：
考虑将这些向量从后往前插入线性基。插入第 \(i\) 个向量时，由于已有向量第 \(i\) 位都为 \(0\)，故必然能成功插入线性基。

这意味着最终状态惟一，而求出该解只需要类似地从大到小将每个向量插入线性基即可。
由于本题向量的特殊性质，使得线性基每一位对应向量都只有一位有值，可以做到 \(\mathcal O(n\log n)\)

设 \(f(i)\) 表示从需要按下 \(i\) 个按钮到需要按下 \(i-1\) 个按钮的期望步数。

则有

\[\begin{split} f(i)&=\frac in +\frac{n-i}n[f(i+1)+f(i)+1] \\ \\ &=\frac{n+(n-i)f(i+1)}i \end{split}\]

边界条件 \(f(n)=1\)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
using namespace std;

using ll=long long;

char buf[1<<14], *p1=buf, *p2=buf;
#define GetC() ((p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<14,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)

struct Ios{}io;
template <typename _tp>
Ios &operator >>(Ios &in, _tp &x){
    x=0; int w=0; char c=GetC();
    for(;!isdigit(c);w|=c=='-', c=GetC());
    for(;isdigit(c);x=x*10+(c^'0'), c=GetC());
    if(w) x=-x;
    return in;
}

const int N=1e5+5, mod=100003;

ll a[N], f[N], fac[N], inv[N];

int main(){
    int n, k; io>>n>>k;

    fac[0]=fac[1]=1; inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    }

    for(int i=1;i<=n;++i) io>>a[i];
    int cnt=0;
    for(int i=n;i;--i){
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i) a[i]^=a[j];
        cnt+=a[i];
    }

    f[n]=1;
    for(int i=n-1;i;--i){
        f[i]=(n+(n-i)*f[i+1])%mod*inv[i]%mod;
    }
    for(int i=k;i;--i) f[i]=1;


    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=cnt;++i) ans+=f[i];

    printf("%lld\n", ans*fac[n]%mod);
    return 0;
}