P4654 [CEOI2017] Mousetrap

$\mathcal{L}ink$

为了方便，以目标为根，向深度浅的位置走为“向上走”，否则为“向下走”。

考虑到老鼠一旦开始向下走，它就一定会一直向下，直到走到叶子或者唯一向下的路被堵住了，此时只需要封住所有岔路并擦干即可。

设 $f_i$ 表示将老鼠从 $i$ 赶回 $i$ 的最优解。

首先，$i$ 的所有子树必须被封上/擦干一次，否则老鼠蹿上来后又回进入其他子树。
由于博弈，所以老鼠会选择子树中 $f$ 大的走，由于只能封一个，所以会选次大的走（不存在的话路直接就给堵死了，为 $0$）

$f_u={2\mathrm{ndmax}}_{v\in so{n}_u}{f}_v+\mathrm{deg}u-1$

考虑设 $h(u)$ 表示 $u\to rt$ 的所有岔边，$g_u$ 表示从进入 $u$ 到回到根的最优解。

由于如果存在“向上走”，则有一条边会不用堵。

$g_u=h(f{a}_u)+f_u+[f{a}_u=m]$

接下来的问题是不清楚老鼠会向上跳到哪里，所以考虑二分答案，转变为输赢博弈（小于等于管理员胜，否则老鼠胜）。

由于堵住的路不能疏通，所以我们只能堵住所有岔路，无法阻止老鼠上跳。

考虑在老鼠上跳的过程中，封住所有可能导致失败的子树。如果太多导致次数不够或者手速太慢就会失败。

有一个细节，就是 $u$ 的某个儿子被封上了，不能直接让 $x$ 减去一，必须等到所有子树做完后再统一减。
原因在于如果老鼠进入了 $u$ 的其它子树 $v$ ，那么由于回到根时 $u$ 的所有儿子都应该被堵上，这个贡献被 $g_v$ 多算了一次 ，所以 $x$ 减后 $g_v$ 也会减同样的值，相当于没减。这就是为什么 check 中会出现 tmp。

View Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
using namespace std;
char buf[1<<14],*p1=buf,*p2=buf;
#define GetC() ((p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<14,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
struct Ios{}io;
template <typename _tp>
Ios &operator >>(Ios &in,_tp &x){
	x=0;int w=0;char c=GetC();
	for(;!isdigit(c);w|=c=='-',c=GetC());
	for(;isdigit(c);x=x*10+(c^'0'),c=GetC());
	if(w) x=-x;
	return in;
}
const int N=1e6+5;
int n,t,m;
struct EDGE{ int nxt,to; }e[N<<1];
int head[N],tot;
void add(int from,int to){
	e[++tot].nxt=head[from];
	e[tot].to=to;
	head[from]=tot;
}
int dp[N],deg[N],h[N],f[N],g[N];
int st[N],top;
void dfs(int u,int fa){
	f[u]=fa;
	dp[u]=0;
	int mx1=0,mx2=0;
	if(fa) h[u]=h[fa]+deg[u]-1-(fa!=0);
	else h[u]=0;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue ;
		dfs(v,u);
		if(dp[v]>=mx1) mx2=mx1,mx1=dp[v];
		else mx2=max(mx2,dp[v]);
	}
	dp[u]=mx2+deg[u]-1;
	if(fa==0) dp[u]=0;
}
bool check(int x){
	int sum=0,tmp=0;
	for(int i=1;i<top;++i){
		int u=st[i];
		tmp=0;
		for(int _=head[u];_;_=e[_].nxt){
			int v=e[_].to;
			if(v==st[i+1]||v==st[i-1]) continue ;
			if(dp[v]>x) ++tmp;
		}
		sum+=tmp;x-=tmp;
		if(x<0||sum>i) return false;
	}
	return true;
}
int main(){
	io>>n>>t>>m;
	if(t==m){
		puts("0");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<n;++i){
		int u,v;io>>u>>v;
		add(u,v);add(v,u);
		++deg[u];++deg[v];
	}
	dfs(t,0);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(i!=t){
			dp[i]+=h[f[i]]+(f[i]==m);
		}
	}
	for(int i=m;i;i=f[i]) st[++top]=i;
	int l=0,r=2*n;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d\n",l);
	return 0;
}