高维前缀和

高维前缀和

高维前缀和，就是对每一个高维空间的点 $(a_1,a_2,\cdots ,a_k)$ ，求 ${\displaystyle \sum _{b_1=0}^{a_1}\sum _{b_2=0}^{a_2}\cdots \sum _{b_k=0}^{a_k}val(\overrightarrow{b})}$

一种做法是容斥，在此不详讲，复杂度 $\mathcal{O}(n^k\cdot 2^k)$。

以二维为例：

for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
        sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];

另一种做法是降维。

考虑 ${\displaystyle f_i(\overrightarrow{a})=\sum _{b_1=0}^{a_1}\sum _{b_2=0}^{a_2}\cdots \sum _{b_i=0}^{a_i}val(b_1,b_2,\cdots ,b_i,a_{i+1},\cdots ,a_k)}$

$f_0(\overrightarrow{a})=val(\overrightarrow{a}),f_k(\overrightarrow{a})=ans$
考虑 $f_{i-1}\to f_i$

${\displaystyle f_i(\overrightarrow{a})=\sum _{b_i=0}^{a_i}{f}_{i-1}(a_1,a_2,\cdots ,a_{i-1},b_i,a_{i+1},\cdots ,a_k)}$

复杂度 $\mathcal{O}(n^k\cdot k)$

仍以二维为例：

for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
        sum[i][j]+=sum[i][j-1]+a[i][j];
for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
        sum[i][j]+=sum[i-1][j];

高维前缀差分

高维前缀和的逆运算，即已知 $f_k(\overrightarrow{a})$，求 $\overrightarrow{a}$。

同样，只需考虑 $f_{i-1}\leftarrow f_i$

$$\begin{array}{rl}& f_i(\overrightarrow{a})=\sum _{b_i=0}^{a_i}{f}_{i-1}(a_1,a_2,\cdots ,a_{i-1},b_i,a_{i+1},\cdots ,a_k)\\ \Rightarrow & f_{i-1}(\overrightarrow{a})=f_i(a_1,a_2,\cdots ,a_k)-f_i(a_1,a_2,\cdots ,a_{i-1},a_i-1,\cdots ,a_k)\end{array}$$

SOSDP

即求子集权值和。考虑到这等价于一个高维前缀和问题。

直接给出代码：

// f[s] 初始值为 val[s]
for(int i=0;i<k;++i)
    for(int s=0;s<(1<<k);++s)
        if(s&(1<<i)) f[s]+=f[s^(1<<i)]