KMP 自动机

相当于 $\pi$ 函数（KMP 中的 next 数组）的扩展。

$\delta (i,c)$ 表示在 KMP 匹配过程中当模式串指针在 $i$ ，接受字符 $c$ 后模式串指针所处的位置。
则 KMP 过程中模式串指针可以被描述为 $\delta (0,s[1]),\delta (\delta (1,s[1]),s[2]),\cdots$

借助 KMP 自动机，我们可以将单次转移时间由均摊 $\mathcal{O}(1)$ 变为严格 $\mathcal{O}(1)$。可以在当基于均摊复杂度的 KMP 转移无法保证复杂度时（CF808G）作为替代品。

为了方便在模式串被完全匹配时转移，常在最后加入一个不在字符集中的字符 $\mathrm{\#}$ （建议设为 \0）

考虑构建 KMP 自动机。
一个暴力的做法是利用 $\pi$ 函数暴力跳，然而复杂度最坏是 $\mathcal{O}(n^2|\mathrm{\Sigma }|)$
考虑到当跳到 $\pi [i]$ 时，后面的过程已被求解 $\delta (\pi [i],c)$ 时所重复。所以只需要跳一次即可。

$$\delta (i,c)=\{\begin{array}{ll}i+1& s[i+1]=c\\ 0& s[1]\ne c\wedge i=0\\ \delta (\pi [i],c)& \mathrm{Otherwise}\end{array}$$

时空复杂度 $\mathcal{O}(n|\mathrm{\Sigma }|)$。