[AGC011E] Increasing Numbers

$\mathcal{L}ink$

思维题。

以下是官方做法。

考虑将不降数不进位相加，则最终结果可以看成 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i\cdot {10}^i}$，其中 $a_i\ge a_{i+1}$。

显然，对于一个固定的 $a$ 序列，最优解不小于 $\lceil {\displaystyle \frac{a_0}{9}}\rceil$ ，且存在一种恰好为 $\lceil {\displaystyle \frac{a_0}{9}}\rceil$的方案，构造如下。

用 $x_i$ 表示第 $i$ 个数，则考虑其十进制表示 ${\displaystyle x_i=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{i,j}\times {10}^j}$，$x_{i,j}=min(9,a_j-9\times (i-1))$。
所以我们要做的是让 $a_0$ 最小。

考虑等价变换。将一种划分等价为

$$N=\sum _{i=1}^{a_0}111\cdots 1=\sum _{i=1}^{a_0}{\displaystyle \frac{{10}^{r_i}-1}{9}}$$

则

$$9N+a_0=\sum _{i=1}^{a_0}{10}^{r_i}$$

考虑到 $\sum _{i=1}^{a_0}{10}^{r_i}$ 能且仅能表示所有数字和为 $t$ 的数。
可以发现 $a_0$ 可行充要于左边数字和小于等于 $a_0$ 且左边数字和与 $a_0$ 模 $9$ 同余，但模 $9$ 同余的条件显然是满足的。

发现答案不是很大，直接枚举即可，显然上界 $\mathcal{O}(n)$ 次，因此复杂度为 $\mathcal{O}(n)$

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考虑一个更简单的做法：每次直接选一个最大的 Increasing Number。

显然，对 $a$ 序列进行如下操作不会使答案变大：