二分与前缀和

有一个已经按升序排好序的数组，求某个数在数组中出现的下标区间。即，若这个数在数组中出现一次或多次，就给出这个范围。

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int n, q, x, a[maxn];
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &q);
	for (int i = 0; i < n; i++)    scanf("%d", &a[i]);
	while (q--) {
		scanf("%d", &x);
		int l = 0, r = n - 1;
		while (l < r) {
			int mid = l + r >> 1;
			if (a[mid] < x)  l = mid + 1;
			else    r = mid;
		}
		if (a[l] != x) {
			printf("-1 -1\n");
			continue;
		}
		int l1 = l, r1 = n;
		while (l1 + 1 < r1) {
			int mid = l1 + r1 >> 1;
			if (a[mid] <= x)  l1 = mid;
			else    r1 = mid;
		}
		printf("%d %d\n", l, l1);
	}
	return 0;
}

设区间为 [left,right]。
首先用二分法求区间 left。对应代码：

int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
	int mid = l + r >> 1;
	if (a[mid] < x) l = mid + 1;
	else r = mid;
}

初始时 l 和 r 处都有值。mid 的值靠近 l。

• 如果 a[mid] 小于目标值 x，则说明 l 小了，此时调整 l 到 mid+1。这里是想求出下界，所以要保证所有小于 x 的数也一定小于 a[l]。
• 如果 a[mid] 等于 x，则说明已经探测到区间内部了，但是不知道边界在哪里。注意！这一步只是要求左边界，所以需要极力保证左边，对右边可以随意。因此，将 r 移到 mid 处，缩小了查找的范围。由于已经保证了 l 处的值一定大于数组中所有小于 x 的数，因此当 x 存在时，l 就是 x 的左边界；当 x 不存在时，l 是数组中第一个大于 x 的数所在的位置。此时 l 就不会动了，r 会不停地变小，直到等于 l，循环终止。

  这里证明一下，当 x 存在时 l 一定是左边界。如果 l 是 x 出现区间中除左边界以外的某个点，由于 l 的变化规则是 mid0+1，这就说明上一步的 mid0=l-1。而 l 不是左边界(l>left)，因此 mid0 一定满足 left<=mid0<l，这就说明当时的情况是 a[mid0]==x，那这怎么会让 l 变化呢……矛盾了。

• 如果 a[mid] 大于 x，显然是因为 r 大了，就要让 r 减小到 mid。这里其实也可以减小到 mid-1，但是就不能和 a[mid]==x 的情况写在一起了。

  else if(a[mid]==k) r=mid;
  else r=mid-1;
  

• 循环终止条件：a[l]<=x, a[r]>=x，因此 l 和 r 有可能相等。

求右边界：

int l1 = l, r1 = n;
while (l1 + 1 < r1) {
	int mid = l1 + r1 >> 1;
	if (a[mid] <= x) l1 = mid;
	else r1 = mid;
}

直接在刚才的基础上，用 l 作为左边界（l 本来就是左边界嘛，如果要一般化就还是 l1=0），r1 从没有值的 n 处开始（总范围是 [0,n-1]）。
我们的目标是让 l1 成为右边界。同时，我们要保证 r1 永远是大于 x 的。

• 当 a[mid]==x 时，我们并不知道此时的 mid 到底是内部点还是什么，所以只敢动 l1，不能动 r1。因此 l1=mid。
• 当 a[mid]<x 时，显然还是要增大 l1，同理这里也可以是 l1=mid+1，但是不能和 a[mid]==x 的情况写在一起。
• 当 a[mid]>x 时，要减小 r1。如果 r1=mid-1，则 r1 有可能变成区间右边界了，这不行，因为我们想让 r1 大于 x。因此 r1=mid。
• 再说说循环终止条件。a[l1] 永远是 <=x 的，a[r1] 永远是 >x 的。最后的关系一定是 l1=r1-1。如果 x 不存在，则 a[l1]<x, a[r1]>x，最后也是 l1=r1-1 的关系。