找出1到N中缺少的數？

《算法導論》中的練習題，

n-1個元素的數組A，含有1到n之間的n-1個數，找出缺少的那個數？

要求：O（n)

解法一：

sum = n*(n+1)/2;

sum減掉A中的每個元素，剩下的就是要找的數。

解法二：

利用異或運算，x^x==0

xor = 1^2^...^n;

xor異或A中的每個元素，最後得到的就是所求。

解法三：

增加一個空位A[n-1]，將A[i]移到A[ A[i] ]，

 

题目升级：

  缺失两个数，求出这两个数。

思想：

   也是采用异或。

    假设，缺失的数为s1和s2。则s1^s2=1^2^3.....^n^a[0]^a[1]^....a[n-3]。这个式子一目了然，无需多解释。

问题是如何通过这个式子求出s1与s2的值。只要能求出一个值，比如说s1，则s2=s1^(s1^s2)。

   s1^s2的值必然不为0，则必然存在一位，s1与s2在此对应位不同。我们就可以按照此对应位是0或者1，将1-n分为两堆，将a[0]-a[n-3]分为两堆。

将该为为1的两堆数相异或就能求出缺失的一个数。

   举个例子。1-7中缺失3,4。转化为二进制位：011和100。三位都不同，我们用最后一位来判别，将1-n和数组非为两堆。

  则结果为：

标志位(最后一位）	1	0
1-n	1、3、5、7	2、4、6
a[0]-a[n-3]	1、5、7	2、6

用标志位为1的数进行异或

 1^3^5^7^1^5^7=3。这样就求出了一个缺失数。

// in case find two missing numbers, here size is 2 less than the range n
void find_missing_number2 (int a[], int size, int& miss1, int& miss2)
{
    miss1 = 0;
    miss2 = 0;
    int number=0;
    for (int i=0;i<size;i++)
        number ^= ((i+1)^a[i]);
    number ^= (size+1);
    number ^= (size+2);    
    
    // now number will be miss1^miss2
    // find the binary 1 in number
    int k = number - (number&(number-1));
    for (int i=0;i<size;i++) {
        if ( (i+1)&k )
            miss1 ^= (i+1);
        if ( a[i]&k )
            miss1 ^= a[i];
    }
    if ( (size+1) & k )
        miss1 ^= size+1;
    if ( (size+2) & k )
        miss1 ^= size+2;
    miss2 = number ^ miss1;
}

 

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