算数基本定理 - nefu 118

算数基本定理

每个大于1的正整数都可以被唯一分解为素数的成绩，在乘积中的素因子按照非降序排列

• a = p1^a1 * p2^a2 * ... pn^an;
• b = p1^b1 * p2^b2 * ... pn^bn;
• gcd(a,b) = p1^min(a1,b1) * p2^min(a2,b2) * ... pn ^ min(an,bn);
• lcm(a,b) = p1^max(a1,b1) * p2^max(a2,b2) * ... pn ^ max(an,bn);
• max(gcd(a,b)) + min(gcd(a,b)) = a + b;
• n!的素因子分解中素数p的幂为[n/p]+[n/p^2]+[n/p3]... p^t <= n
• 在因式分解中，2的因子的个数要大于5的因子的个数

题意：计算N!末尾的0的个数

分析：

显然分析是很重要的，计算末尾0的个数显然不科学，所以转化为计算2*5的个数，又有定理：在因式分解中，2的因子的个数要大于5的因子的个数，
则只要计算5的幂就好，用公式n!的素因子分解中素数p的幂为[n/p]+[n/p^2]+[n/p3]... 0（p^t <= n）

算数基本定理的应用

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    int cas;
    cin >> cas;
    while(cas--)
    {
        ll n;
        cin >> n;
        ll five = 5;
        ll sum = 0;
        while(five < n)
        {
            sum += n/five;
            five *= 5;
        }
        cout << sum << endl;
    }
    return 0;
}