2024 洛谷月赛（柒）
月赛
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T1 在相思树下 I
签到题QWQ，找规律易得。证明未知
每次一定会删掉一半的数，所以第 \(i\) 次操作都会提供一个 \(1<<i-1\) 的贡献。
这个贡献就是下一次会往后跳多少个位置。
假如一开始确定留下的是第一个，那删偶数不会有影响，而删奇数需要往后跳。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
int t;
LL n,k;
int main()
{
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%lld%lld",&n,&k) ;
LL ans=1;
for(int i=0;i<k;i++)
{
int x; scanf("%d",&x);
if(x==1) ans+=(1ll<<i);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
T2 01-string
一眼 dp，可以开 \(f[i][4]\) 表示完成前 \(i\) 位的代价，\(4\) 表示反转，一，零覆盖，不动四种操作，记录上一次的操作。
注意如果是 \(0,1\)，虽然可能不需要操作，但是由于区间连续的原因，可能进行覆盖操作更优，所以也要更新。
代码在这，但是假了。
假code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 5e5+5;
int T;
int n,f[N][4];
char s[N],t[N];
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
memset(f,0x3f,sizeof(f));
scanf("%s%s",(s+1),(t+1));
n=strlen(s+1); f[0][0]=0;
for(int g=1;g<=3;g++)
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(s[i]==t[i]) f[i][0]=min({f[i-1][0],f[i-1][1],f[i-1][2],f[i-1][3],f[i][0]});
else f[i][3]=min({f[i-1][0]+1,f[i-1][1]+1,f[i-1][2]+1,f[i-1][3],f[i-1][3]});
if(t[i]=='1') f[i][1]=min({f[i-1][0]+1,f[i-1][1],f[i-1][2]+1,f[i-1][3]+1,f[i-1][1]});
if(t[i]=='0') f[i][2]=min({f[i-1][0]+1,f[i-1][1]+1,f[i-1][2],f[i-1][3]+1,f[i-1][2]});
}
printf("%d\n",min({f[n][0],f[n][1],f[n][2],f[n][3]}));
}
return 0;
}
假好像不那么明显，因为找了好久都没有找到反例。
我们进行的线性 dp，它不会考虑操作区间交叉的情况，也就是一个字符只会被操作一次。
而由于反转操作的存在，是有一些情况必须先进行反转然后再统一覆盖的，并且一定是先反转再覆盖。
因为如果先覆盖再反转，可以用反转后再覆盖乘相反的代替，这两种是等价的。
所以既然会出现两种操作同时存在，并且是一种反转一种覆盖，那么我们可以把反转单开出来记。
分讨情况暴增。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 5e5+5;
int T;
int n,f[N][3][2];
char s[N],t[N];
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
memset(f,0x3f,sizeof(f));
scanf("%s%s",(s+1),(t+1));
n=strlen(s+1);
f[0][2][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(s[i]==t[i])
{
f[i][2][0]=min({f[i-1][2][0],f[i-1][0][0],f[i-1][1][0],f[i-1][2][1],f[i-1][0][1],f[i-1][1][1]});
if(s[i]=='0')
f[i][0][0]=min({f[i-1][2][0]+1,f[i-1][0][0],f[i-1][1][0]+1,f[i-1][2][1]+1,f[i-1][0][1],f[i-1][1][1]+1});
else
f[i][1][0]=min({f[i-1][2][0]+1,f[i-1][0][0]+1,f[i-1][1][0],f[i-1][2][1]+1,f[i-1][0][1]+1,f[i-1][1][1]});
}
else
{
if(s[i]=='0')
f[i][1][0]=min({f[i-1][2][0]+1,f[i-1][0][0]+1,f[i-1][1][0],f[i-1][2][1]+1,f[i-1][0][1]+1,f[i-1][1][1]});
else
f[i][0][0]=min({f[i-1][2][0]+1,f[i-1][0][0],f[i-1][1][0]+1,f[i-1][2][1]+1,f[i-1][0][1],f[i-1][1][1]+1});
}
if(s[i]!=t[i])
{
f[i][2][1]=min({f[i-1][2][0]+1,f[i-1][0][0]+1,f[i-1][1][0]+1,f[i-1][2][1],f[i-1][0][1],f[i-1][1][1]});
if(s[i]=='0')
f[i][0][1]=min({f[i-1][2][0]+2,f[i-1][0][0]+1,f[i-1][1][0]+2,f[i-1][2][1]+1,f[i-1][0][1],f[i-1][1][1]+1});
else
f[i][1][1]=min({f[i-1][2][0]+2,f[i-1][0][0]+2,f[i-1][1][0]+1,f[i-1][2][1]+1,f[i-1][0][1]+1,f[i-1][1][1]});
}
else
{
if(s[i]=='0')
f[i][1][1]=min({f[i-1][2][0]+2,f[i-1][0][0]+2,f[i-1][1][0]+1,f[i-1][2][1]+1,f[i-1][0][1]+1,f[i-1][1][1]});
else
f[i][0][1]=min({f[i-1][2][0]+2,f[i-1][0][0]+1,f[i-1][1][0]+2,f[i-1][2][1]+1,f[i-1][0][1],f[i-1][1][1]+1});
}
}
printf("%d\n",min({f[n][0][0],f[n][0][1],f[n][1][1],f[n][1][0],f[n][2][0],f[n][2][1]}));
}
return 0;
}
T3 在相思树下 II
尝试用英文写未果
其实还算好想的一道题，我们用近似线段树的方式递归，然后统计限制就好了。
容易看出 \(max\) 和 \(min\) 其实就是规定至少有多少个人比他小/大，
因此我们在统计的时候可以记录每个点到达这一高度的限制，由于我们可以随意安排人的位置，所以最终取这一棵子树的最小限制作为递归的结果。
最终我们的得到的是一个范围，即如果第 \(i\) 个人想到达 \(d\) 层所在区间应是 \([s[i].fi+1,num-s[i].se]\)，把合法的修改成 \(1\)，用差分数组维护区间修改。
code
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 1e6+5,L = __lg(N)+5;
int n,m,num,c[N],f[L][N];
pair<int,int> s[N];
pair<int,int> dfs(int k,int l,int r,int d)
{
if(l==r) return {0,0};
int mid=l+r>>1;
pair<int,int> sl=dfs(k<<1,l,mid,d-1),sr=dfs(k<<1|1,mid+1,r,d-1),ans={num,num};
if(c[k]==1)
{
for(int i=l;i<=mid;i++) s[i].fi+=sr.fi+1;
for(int i=mid+1;i<=r;i++) s[i].fi+=sl.fi+1;
}
else
{
for(int i=l;i<=mid;i++) s[i].se+=sr.se+1;
for(int i=mid+1;i<=r;i++) s[i].se+=sl.se+1;
}
for(int i=l;i<=r;i++)
{
ans.fi=min(s[i].fi,ans.fi); ans.se=min(ans.se,s[i].se);
++f[d][s[i].fi+1]; --f[d][num-s[i].se+1];
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m); num=1<<n;
for(int i=1;i<num;i++) scanf("%d",&c[i]);
dfs(1,1,num,n); f[0][0]=1;
for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=1;j<=num;j++) f[i][j]+=f[i][j-1];
while(m--)
{
int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%s\n",f[y-1][x]>0?"Yes":"No");
}
return 0;
}
T4 落月摇情
大力分讨，咕咕咕。。。
