寿司

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题目描述

解析

合法的结果只有两种情况：\(B\) 都在两边、\(R\) 都在两边，至于是最左边还是最右边或者都有，无所谓，因为是环。

而每个 \(B\) 移到最左边的代价就是它左边 \(R\) 的个数，移到最右边就是它右边 \(R\) 的个数。

按环形 dp 的套路，我们可以把串复制二倍，然后枚举断点，破环成链，然后对于每个链把 \(B\) 移到区间两边。

因为我们已经遍历每一个断点，所以不用考虑 \(R\) 在断点处的情况，只用考虑 \(B\)。

这是暴力版的 \(O(n^2)\)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+5;
int t,n,_1[N],_0[N];
string s;
int main()
{
	freopen("sushi.in","r",stdin);
	freopen("sushi.out","w",stdout);
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		cin>>s; int n=s.length();
		s=' '+s+s;
		for(int i=1;i<=n<<1;i++)
		{
			_1[i]=_1[i-1]+(s[i]=='B');
			_0[i]=_0[i-1]+(s[i]=='R');
		}
		long long ans=1e18;
		for(int l=1,r=n;r<=n<<1;l++,r++)
		{
			long long res=0;
			for(int i=l;i<=r;i++)
			{
				if(s[i]=='B')
				res+=min(_0[i]-_0[l-1],_0[r]-_0[i]);
			}
			ans=min(ans,res);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

然后我们考虑优化，每一个序列一定存在一个位置，它左边的 \(B\) 一定移到最左边最优，右边的 \(B\) 一定移到右边最优。

并且随着我们的区间右移的过程中，这个位置一定是单调的（易证），所以我们可以单调指针指一下。

这对我们优化有什么帮助呢？我们还是先写出暴力：

for(int l=1,r=n;r<=n<<1;l++,r++) 
{
	long long res=0;
	while(_0[tag]-_0[l-1]<_0[r]-_0[tag]) tag++;
	for(int i=l;i<=tag;i++) if(s[i]=='B') res+=_0[i]-_0[l-1];
	for(int i=tag+1;i<=r;i++) if(s[i]=='B') res+=_0[r]-_0[i];
	ans=min(ans,res);
}

我们发现可以前缀和维护一下！

然后做完了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e6+5;
int t,n,_1[N],_0[N];
long long sum[N];
char s[N];
int main()
{
	freopen("sushi.in","r",stdin);
	freopen("sushi.out","w",stdout);
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1);
		for(int i=1;i<=n;i++) s[i+n]=s[i];
		for(int i=1;i<=n<<1;i++)
		{
			_1[i]=_1[i-1]+(s[i]=='B');
			_0[i]=_0[i-1]+(s[i]=='R');
			if(s[i]=='B') sum[i]=sum[i-1]+_0[i];
			else sum[i]=sum[i-1];
		}
		long long ans=1e18; int tag=1;
		for(int l=1,r=n;r<=n<<1;l++,r++) 
		{
			long long res=0;
			while(_0[tag]-_0[l-1]<_0[r]-_0[tag]) tag++;
			res+=sum[tag]-sum[l-1]-(long long)_0[l-1]*(_1[tag]-_1[l-1]);
			res+=(long long)(_1[r]-_1[tag])*_0[r]-sum[r]+sum[tag];
			ans=min(ans,res);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}