概率期望

期望

期望:对于随机变量X,它的期望 \(E(X)=\displaystyle \sum^n_{i=1}{基本结果 i 发生的概率 \times 发生基本结果 i 时 X 的数值,i是一个基本结果}\)

简而言之，期望就是概率乘以数值。

例如掷骰子，掷一个骰子得分的期望是 \(ans=\displaystyle \sum^6_{i=1}{i* \frac{1}{6}}=3.5\)

并且两个骰子的期望得分就是 \(7\)，这就是期望的可加性，具体见下文。

可加性（线性性)

可加性是概率DP的理论基础，即总期望等于各个事件的期望加权相加。

对于事件 \(x,y\) ，发生 \(x\) 的概率为 \(a\)，发生事件 \(y\) 的概率为 \(b\) 。

\[E(ax+by)=aE(x)+bE(y) \]

如上文掷两个骰子的期望就是分别掷两个的期望相加。

由此我们可以将问题转化为一个线性相加的的形式。

Tips

1. 最常考虑的是 dp 比赛场次、阶段数，分别计算每个阶段的期望并相加。Red is good

2. 或者是以搜索的角度考虑每种情况相加 P10504 守卫者的挑战

3. 当然，既然只是最简单的相加，也有很多题并不需要 dp 状态转移，单纯计算每个的贡献并相加就行了P1297 单位错选

4. 除此之外，我们可以用最朴素的方法求概率，也就是通过组合数学求出总方案数和合法方案数，再通过数学方法进行合并，
   有时候贡献不同不太好算时，可以求一类事件的总概率，把贡献都转化为 \(1\)，然后求概率之和就行了列队春游

5. 因为起点一般唯一，而终点可能有多个，所以一般 dp 要倒推，其实记搜可以避免一些脑细胞死亡，能搜先搜吧。

6. 相加过程中我们会经常维护一些本身就与概率有关的变量，很容易弄混结果和期望，结果应是与概率无关的
   这时可以单独维护，防止概率算多次。OSU!

7. 其实不是期望 dp 的 tip，树上 dp 我们常遇到需要统计儿子和父亲都有的贡献时，先 dfs 一遍求儿子对父亲的，然后再 dfs 一遍求父亲对儿子的，这时注意有一部分时重叠的，我们可以通过倒推式子求出父亲的初始状态，然后代入计算。概率充电器

8. 对于部分操作有概率，另一部分是确定的，我们可以采取平摊贡献的方式，每次计算这种方案的平均值。Game Relics

高斯消元

未完待续。。。