守卫者挑战

守卫者的挑战

题目描述

打开了黑魔法师 Vani 的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押 applepi 的监狱的所在地。突然，眼前一道亮光闪过。“我，Nizem，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为K的包包。

擂台赛一共有 $N$ 项挑战，各项挑战依次进行。第 $i$ 项挑战有一个属性 $a_i$，如果 $a_i\ge 0$，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为 $a_i$ 的包包；如果 $a_i=-1$，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为 $1$ 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把 【获得的所有的】地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有N项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功 $L$ 次才能离开擂台。

队员们一筹莫展之时，善良的守卫者 Nizem 帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第 $i$ 项挑战成功的概率为 $p_i\mathrm{\%}$。现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。

输入格式

第一行三个整数 $N,L,K$。

第二行 $N$ 个实数，第 $i$ 个实数 $p_i$ 表示第 $i$ 项挑战成功的百分比。

第三行 $N$ 个整数，第 $i$ 个整数 $a_i$ 表示第 $i$ 项挑战的属性值.

输出格式

一个整数，表示所求概率，四舍五入保留 $6$ 位小数。

样例 #1

样例输入 #1

3 1 0
10 20 30
-1 -1 2

样例输出 #1

0.300000

样例 #2

样例输入 #2

5 1 2
36 44 13 83 63
-1 2 -1 2 1

样例输出 #2

0.980387

提示

在第一个样例中，若第三项挑战成功，如果前两场中某场胜利，队员们就有空间来容纳得到的地图残片，如果挑战失败，根本就没有获得地图残片，不用考虑是否能装下；若第三项挑战失败，如果前两场有胜利，没有包来装地图残片，如果前两场都失败，不满足至少挑战成功1次的要求。因此所求概率就是第三场挑战获胜的概率。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $0\le K\le 2000$，$0\le N\le 200$，$-1\le a_i\le 1000$，$0\le L\le N$，$0\le p_i\le 100$。

概率DP+记忆化搜索

题解竟然没有记搜！！！

题意

给出每一局游戏赢的概率和得分或者增加背包容量，

求最终至少赢 $L$ 局并且得分不大于容量的概率。

得分可以看成大小为 $-1$ 的背包，因此直接减去就好啦~~

解析

暴力 dfs(30pts)

审题结束，开始考虑暴力，

我们需要知道的值有赢的次数 $win$、背包容量（包括减去的得分）$volum$、比赛场次 $now$。

如果赢了 $win+1,volum+a_{k+1}$，否则不变。

然后记录每种情况的概率就行啦~~

dfs code

void dfs(int now,double t,int vm,int win)
{
	if(now==n)
	{
		if(vm>=0&&win>=l) ans+=t;
		return;
	}
	dfs(now+1,t*p[now+1],vm+a[now+1],win+1);
	dfs(now+1,t*(1-p[now+1]),vm,win);
}

记忆化搜索（100pts）

既然知道 dfs 的写法，改一改记忆化就很简单啦！

设计状态 $f_{now,win,volum}$，表示含义如上。

$$\begin{gathered} f_{now,win,volum} \\ =dfs(now+1,win+1,volum+a_{now+1})\times p_{now+1} \\ +dfs(now+1,win,volum)\times (1-p_{now+1}) \end{gathered}$$

还有一个小问题就是背包容量太大了，数组开不下，还会有负数，

我们考虑所有大于 $n$ 的容量其实是等价的，所以赋成 $n$，

至于负数整体加 $n$ 就行啦~~

AC code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 205;
int n,l,k,a[N],tot,sum[N],be;
double p[N],f[N][N<<1][N],ans;//f[num][win][vm](vm=min(a[i],n))
bool vs[N][N<<1][N];
double dfs(int now,int win,int vm)
{
	if(now==n)
	{
		vs[now][win][vm+be]=1;
		if(win>=l&&vm>=0) return f[now][win][vm+be]=1;
		else return f[now][win][vm+be]=0;
	}
	if(vs[now][win][vm+be]) return f[now][win][vm+be];
	f[now][win][vm+be]=dfs(now+1,win+1,vm+a[now+1])*p[now+1]+dfs(now+1,win,vm)*(1-p[now+1]);
	vs[now][win][vm+be]=1;
	return f[now][win][vm+be];
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&l,&k); be=n;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]),p[i]/=100;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]); 
		if(a[i]>n) a[i]=n;
	}
	printf("%lf\n",dfs(0,0,k));
	return 0;
}