动物园
[NOI2014] 动物园
题目描述
近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。
某天，园长给动物们讲解 KMP 算法。
园长：“对于一个字符串 \(S\)，它的长度为 \(L\)。我们可以在 \(O(L)\) 的时间内，求出一个名为 \(\mathrm{next}\) 的数组。有谁预习了 \(\mathrm{next}\) 数组的含义吗？”
熊猫：“对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作 \(\mathrm{next}[i]\)。”
园长：“非常好！那你能举个例子吗？”
熊猫：“例 \(S\) 为 \(\verb!abcababc!\)，则 \(\mathrm{next}[5]=2\)。因为\(S\)的前\(5\)个字符为 \(\verb!abcab!\)，\(\verb!ab!\) 既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 \(\mathrm{next}[1] = \mathrm{next}[2] = \mathrm{next}[3] = 0\)，\(\mathrm{next}[4] = \mathrm{next}[6] = 1\)，\(\mathrm{next}[7] = 2\)，\(\mathrm{next}[8] = 3\)。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在 \(O(L)\) 的时间内求出 \(\mathrm{next}\) 数组。
下课前，园长提出了一个问题：“KMP 算法只能求出 \(\mathrm{next}\) 数组。我现在希望求出一个更强大 \(\mathrm{num}\) 数组一一对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 \(\mathrm{num}[i]\)。例如 \(S\) 为 \(\verb!aaaaa!\)，则 \(\mathrm{num}[4] = 2\)。这是因为\(S\)的前 \(4\) 个字符为 \(\verb!aaaa!\)，其中 \(\verb!a!\) 和 \(\verb!aa!\) 都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而 \(\verb!aaa!\) 虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，\(\mathrm{num}[1] = 0,\mathrm{num}[2] = \mathrm{num}[3] = 1,\mathrm{num}[5] = 2\)。”
最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出\(\mathrm{num}\)数组呢？
特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出 \(\mathrm{num}[i]\) 分别是多少，你只需要输出所有 \((\mathrm{num}[i]+1)\) 的乘积，对 \(10^9 + 7\) 取模的结果即可。
输入格式
第 \(1\) 行仅包含一个正整数 \(n\)，表示测试数据的组数。
随后 \(n\) 行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串 \(S\)，\(S\) 的定义详见题目描述。数据保证 \(S\) 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。
输出格式
包含 \(n\) 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 \(10^9+7\) 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。
样例 #1
样例输入 #1
3
aaaaa
ab
abcababc
样例输出 #1
36
1
32
提示
| 测试点编号 | 约定 |
|---|---|
| 1 | \(n \le 5, L \le 50\) |
| 2 | \(n \le 5, L \le 200\) |
| 3 | \(n \le 5, L \le 200\) |
| 4 | \(n \le 5, L \le 10,000\) |
| 5 | \(n \le 5, L \le 10,000\) |
| 6 | \(n \le 5, L \le 100,000\) |
| 7 | \(n \le 5, L \le 200,000\) |
| 8 | \(n \le 5, L \le 500,000\) |
| 9 | \(n \le 5, L \le 1,000,000\) |
| 10 | \(n \le 5, L \le 1,000,000\) |
题解
很自然的想法是 KMP，然后递推求出 border 的个数，统计答案时暴跳找到第一个 border 小于等于 \(\lfloor \frac{i}{2} \rfloor\) 的，统计答案。
发现 \(\mathbb{T}\) 了，显然暴跳很劣，考虑优化。
注意到每次 border 的长度只会增加 \(1\)，所以直接维护小于等于 \(\lfloor \frac{i}{2} \rfloor\) 的 border，这个显然可以用类似 KMP 的方法求出，每次如果大于 \(\lfloor \frac{i}{2} \rfloor\) 就跳回去。
复杂度 \(O(n)\)。
细节注意此时统计的是 border 个数加上自己，所以初始化 \(f_1=1\)。
code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+5,mod = 1e9+7;
int T,n,p[N],f[N];
char s[N];
int main()
{
// freopen("in.in","r",stdin);
// freopen("out.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1); f[1]=1;
for(int i=2,j=0;i<=n;i++)
{
while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=p[j];
p[i]=(j+=(s[i]==s[j+1])); f[i]=f[p[i]]+1;
}
long long ans=1;
for(int i=2,j=0;i<=n;i++)
{
while(j&&s[i]!=s[j+1]) j=p[j];
j+=(s[i]==s[j+1]); if(j>(i>>1)) j=p[j];
ans=ans*(f[j]+1)%mod;
}
printf("%lld\n",ans);
for(int i=0;i<=n;i++) p[i]=f[i]=0;
}
return 0;
}
注意
- 注意状态之间可以转移。
