数论(笔记)

参考课件

1. 同余

1.1 同乘性

${\displaystyle a\equiv b(\mathrm{mod}m)}$
${\displaystyle c\equiv d(\mathrm{mod}m)}$
则 ${\displaystyle a\ast c\equiv b\ast d(\mathrm{mod}m)}$

证明

$a=k_{1}m+x$ ; $b=k_{2}m+x$
$c=k_{3}m+y$ ; $d=k_{4}m+y$
$a\ast c=k_1{k}_3{m}^2+k_{1}my+k_{3}mx+x\ast y$ ; $b\ast d=k_2{k}_4{m}^2+k_{2}my+k_{4}mx+y\ast x$
$a\ast c(\mathrm{mod}m)=x\ast y$ ; $b\ast d(\mathrm{mod}m)=x\ast y$
${\displaystyle a\ast c\equiv b\ast d(\mathrm{mod}m)}$

1.2 同除性

${\displaystyle a\ast p\equiv b\ast p(\mathrm{mod}m)}$
当且仅当 $p$ 与 $m$ 互质时 , ${\displaystyle a\equiv b(\mathrm{mod}m)}$一定成立

证明

因为

${\displaystyle a\ast p\equiv b\ast p(\mathrm{mod}m)}$

所以

$(a-b)\ast x\ast p=m\ast y$ $(x,y\in N^{\ast })$

所以

$(a-b)\ast x=m\ast y/p$ $(x,y\in N^{\ast })$

若 $m$ 与 $p$ 互质, 则 $y$ 必整除 $p$ ,满足系数为整数. 否则,由于 $p$ 与$m$ 有公因数,且这个公因数一定不是 $y$ 的因数, 所以 $y/p$ 不是整数,所以不成立.

2. 欧拉函数

欧拉函数定义：$\phi (n)$ 表示不大于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的个数（包括 $1$）。

$\phi (n)=n\times {\displaystyle \prod _{i=1}^k(\frac{1}{1-p_i})}$

其中 $p$ 为 $n$ 的所有质因子。

2.1 求 $n$ 的 $\phi$

int exgcd(int k)
{
	int m=int(sqrt(k+0.5));
	int ans=k;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		if(k%i==0)
		{
			ans=ans/i*(i-1);
			while(k%i==0) k/=i;
		}
	}
	if(k>1) ans=ans/k*(k-1);
	return ans;
}

2.2 求 $1--n$ 的 $\phi$

3. 扩展欧几里得及求通解

求通解

int exgcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1; y=0; return a;
	}
	int res=exgcd(b,a%b),t=x;
	x=y; y=t-(a/b)*y;
	return res;
}

4. 求逆元

定义

4.1 费马小定理求逆元

4.2 欧拉定理求逆元

4.3 扩展欧几里得求逆元

4.4 线性求逆元

4.5 求阶乘逆元

$$ny1[i]=(LL)(p-p/i)\ast ny1[p\mathrm{\%}i]\mathrm{\%}p;$$

$$ny2[i]=(LL)(ny2[i-1]\ast ny1[i]\mathrm{\%}p;$$