CF838D 题解
首先考虑 \(n=m\) 时方案数，记作 \(f_n\)，记其指数生成函数 \(F(x)\) 为 \(\sum_{i=0}^\infty\frac{f_i}{i!}x^i\)
考虑递推，我们有\(\begin{cases}f_{n}=\left(\sum_{i\geq0}^{n-1}f_{i}f_{n-1-i}\right)\cdot\frac{n+1}{n}(n>0)\\f_{n}=1(n=0)\end{cases}\)
于是我们有\(xF^{\prime}(x)+1=(x(xF^{2}(x)+1))^{\prime}\)
化简，得 \(xF^{\prime}(x)=2xF^{2}(x)+2x^{2}F(x)F^{\prime}(x)\)，记 \(y=F(x)\) ，即
\[\begin{aligned}\\
xy^{\prime}&=2xy^{2}+2x^{2}yy^{\prime}\\
y^{\prime}&=2y^{2}+2xyy^{\prime}\\
y^{\prime}&=2y(y+xy^{\prime})\\
\frac{y^{\prime}}{y}&=2(xy)^{\prime}\\
\ln y&=2xy+C\\
\ y&=e^{2xy}\cdot C\\
\end{aligned}
\]
由 \(y(0)=1\)，得到 \(C=1\)，于是我们把带微分的形式转化为了不带微分的形式，下面考虑对 \(y=e^{2xy}\) 拉格朗日反演。
我们将等式两侧同时配上一个 \(x\)，得到 \(xy=xe^{2xy}\)，换元令 \(z=xy\)，于是有 \(\frac{z}{e^{2z}}=x\)，于是就是复合逆的形式了。
我们这个时候引入 \(m\le n\) 的情况，我们发现最后答案就相当于求 \(m^{n-m+1}\)，即为 \(m![x^{n+1}]z^{n-m+1}\)，根据扩展拉格朗日反演，我们得到：
\[\begin{aligned}\\
[x^{n+1}] z^{n-m+1} &= \frac{1}{n+1}[x^{-1}](x^{n-m+1})^{\prime}(\frac{e^{2x}}{x})^{n+1}\\
&= \frac{n-m+1}{n+1}[x^{-(n-m)-1+n+1}]e^{2(n+1)x}\\
&= \frac{n-m+1}{n+1}[x^{m}]e^{2(n+1)x}\\
&= \frac{(n-m+1)2^m(n+1)^m}{(n+1)\cdot m!}\\
\end{aligned}
\]
由于一开始答案是 \(EGF\)，于是我们把这个式子再乘上 \(m!\) 就是答案，化简即为 \((n-m+1)2^m(n+1)^{m-1}\)。
