天才的想法——Reed–Solomon编码的快速纠错

大致内容见 EI WC课件：组合计数中的递推问题

这里记录一下我对最后一步怎么归约到有理函数重建的的解读。

考虑把 \(g(x),p(x)\) 拿出来跑 exgcd ，\(g(x)\) 是那个点值插出来的多项式，\(p(x)=\prod (x-i)\) ，也就是预先约定好的所有点值对应的点、对这两个多项式跑 gcd，但是只跑到 \(\deg \le n-k\) 然后把 exgcd 过程中使得原始多项式多带的系数除掉即可。

具体来说，我们假定传输的信息充分多，损坏充分少，原有信息量充分少，这样方便理解，不需要关心对传输量卡常带来的无关紧要的部分。

那么我们可以这么理解这个算法，我们考虑先把正确的点值插入进去，那么我们会得到一个 \(a(x)\) ，\(\deg a\) 充分小。然后我们把错误的点值依次插入，那么我们会发现，由于前面的点值插入非常多（虽然信息少），那么我们新插的点值为了防止影响前面那些已经被硬控的部分，要在之前的所有已经插入的 pos 处为 \(0\) ，也就是要乘上之前所有的 \((x-pos)\) ,那我们不妨记录之前所有的正确的位置的pos的 \(\prod(x-pos)\) 为 \(b(x)\)，则我们后面新增的错误点值对 \(a(x)\) 的影响显然为 \(a(x)\to a(x)+b(x)c(x)\) ，其中 \(\deg c\) 是错误点值数量，经过我们这样的分析，虽然我们不知道那些是正确的，哪些是错误的，但是我们大概了解的他的形式。

那么一个显然的事实是我们记录 \(p(x) = \prod (x-i)\) 则 \(p(x) = b(x)d(x)\)，目前我们是知道 \(g(x) = a(x)+b(x)c(x),p(x) = b(x)d(x)\) 的，由于 \(a(x)\) 非常短，如果我们不考虑 \(a(x)\) 的影响，我们直接对 \(g(x),p(x)\) exgcd，则我们可以很容易的得到 \(b(x)\) ，但是有 \(a(x)\) 怎么办，\(\deg a\) 充分小诱导我们对这两个式子做一点点 exgcd ，让我们尝试一下。很显然，我们在充分少的次数之后，我们可以得到 \(k(x),t(x)\) 使得 \(k(x)(a(x)+b(x)c(x))+t(x)b(x)d(x)\) 中的 \(b(x)(k(x)c(x)+t(x)d(x))=0\)，因为 \(\deg c,\deg d\) 是充分小的，这样我们就得到了 \(k(x)a(x)\) ，再把 \(k(x)\) 从中除掉就得到了 \(a(x)\)

感觉这个东西过于工业，但是如果出 \(n^2\) 的话也足够难了，没有深入学习过这个算法根本是写不出来的，但是学过的又有点板了。