APIO2024 T3 Magic Show

问题是特殊条件下的有损传输，考虑多项式插值。

多项式插值是天然的有损传输的媒介，一个 \(n\) 次多项式可以用 \(n+1\) 的点值确定，这就意味着如果我们有 \(n+1+d\) 个点值，那么任意损坏 \(d\) 个点值都是没有关系的。目前几个重要的有损传输的成果都是基于这个的。

我们考虑这样构造（树从 \(0\) 开始标号），取一个质数 \(p=107\) ，\([0,p)\) 标号内的点随便连，连通就行，这些点不传递信息，我们靠后面的 \(p+2\varepsilon(2\varepsilon\le p)\),（\(\varepsilon\)是待定参数） 个位置像前 \(p\) 个点连边表示出信息。由于我们前面只有 \(p\) 个点，多项式点值的值域我们无法控制，但是如果我们在 \(\%p\) 意义下考虑这个问题，也许还有救。

我们考虑在 \(\%p\) 意义下考虑把某个多项式转成点值传递过去，后面 \(p+2\varepsilon\) 个点我们依次在多项式中代入 \(0\) 到 \(p+2\varepsilon-1\)，把得到的点值连向最前面的 \(p\) 个点表示这种点值。

刚刚说到“某个多项式”，具体的，我们把题目中的 \(X\) 转成一个 9 位 \(p\) 进制数，把这九个数当成多项式的系数，我们的 \(\varepsilon\) 就取 9。

题目会删掉其中的 \(p+\varepsilon\) 个，在最坏情况下，会全删后面的，但是不管怎么样，我们会留下 \(\varepsilon\) 个点值，于是我们就有 \(\varepsilon\) 个点值了，我们把这 \(\varepsilon\) 点值插回系数即可复原出我们原来的 \(X\)。

到此，主要做法已经讲完了。

我故意的凸显了思路，并隐蔽了一个错误（一开始就讲会很难理解这个补丁），读到这里请读者自行思考上述做法有何疏漏，思考完后展开看补丁。

补丁

由于我们的模数为 $p$ ,所以我们有 $f(x)=f(x+p)$，所以如果我们剩的那 $\varepsilon$ 个有配对的，就很不幸，信息量不够。所以我们把 $\varepsilon$ 翻倍取到 18，这样即使折半也能保证正确。

至此，这题我们做到了 107+107+36=250 的点数的稳定做法。

关于这题其实还有一个用 CRT 的做法，点数比较多的时候也是稳定的可复原的，在这题上很优秀，但是理论上感觉复杂度可能不是特别优美（涉及到很神秘的数论分析，至少我一晚上没有特别理性的证法）。

插值做法在理论上相对更加优美，应该顺着这个插值思路可能还能挤点油水，我没细卡，可能有信息密度更大的构造，但是这种事情有不太重要也没有太大价值了。