矩阵树神奇性质

25/4/2024

我刚刚发现一个神奇的事情，矩阵树定理的矩阵消元的时候，矩阵的两行是不需要交换的，只要交换就意味着答案=0。
目前不确定正确性，我尝试在lg矩阵树定理模版、lg BEST定理模板、loj3304作业题提交这种逻辑的做法，都通过了。我本地也对这个问题做了大量对拍，对于有向和无向的情况都过拍了，有没有大佬知道这个的原因吗
或者说存在比较特殊的反例难以构造。

26/4/2024

UPD：得到 Kevin 大神的指导，下面粘贴一下证明。

不需要交换，也就是每个低阶主子式不为 0，注意到每个低阶主子式都可以由原图选择一个点集缩点得到的图应用矩阵树定理得到，那么显然若这个新图没有生成树，整张图也没有生成树。（by Kevin）

严谨论述：在一张非负权不取模的有向或无向图中，矩阵树定理的矩阵消元的时候，矩阵的两行是不需要交换的，只要交换就意味着答案=0。

一个要点是：非负权不取模。下面构造一个负权无向图上的反例：

5
1 2 1
2 3 1
3 4 -1
4 5 1
5 1 -1

取模意义下的反例是同理的。