关于期望相关证明的技巧

1、线性性

E(x+y) = E(x) + E(y)

这是最基础的，可以用组合的想法理解，本质就是所谓的“拆开计数”

这里最强大的一点在于，不要求变量之间的独立性，以下2个例子都展示了这一点。

2、如果式子是求和，则可以考虑在每一个情况上证明式子的正确性，从而说明期望整体的正确性。（要求情况之间，和情况内部都是加法或同一种运算）

）Eg.1 证明Min-Max 容斥正确性

考虑一个集合，每一个是一个pair<p,stu>，表示概率，和这个情形

把这个情况直接代入公式，拆掉E，max(S) = sum((-1)^(|T|+1)min(T))，T为S非空子集

发现正确性为 Min-Max 容斥的基础情况

由于式子里面符合“要求情况之间，和情况内部都是加法或同一种运算”，故sum换一种顺序，就证明了期望意义下的正确性

sum换一种顺序和“拆开计数”本质相同，也就是说Min-Max容斥期望意义上的正确性实际上是线性性的一种表现方式

）Eg.2 证明vhttps://www.luogu.com.cn/problem/CF895E 里面期望公式的正确性

由于这个东西具有相关性，感性理解比较奇怪，但是我们可以理性说明。

它符合“要求情况之间，和情况内部都是加法或同一种运算”，所以和上面一样，每一个情况，代入公式算，发现正确即可