题目1 : 骨牌覆盖问题·二

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描述

上一周我们研究了2xN的骨牌问题，这一周我们不妨加大一下难度，研究一下3xN的骨牌问题？
所以我们的题目是：对于3xN的棋盘，使用1x2的骨牌去覆盖一共有多少种不同的覆盖方法呢？
首先我们可以肯定，奇数长度一定是没有办法覆盖的；对于偶数长度，比如2，4，我们有下面几种覆盖方式：

在2xN的骨牌覆盖问题中，我们有递推式子 (0,1)xM^n=(f[n-1],f[n])。
我们考虑能否在3xN的情况下找到同样的式子。
但在实际的推导过程可以发现，对于3xN的覆盖，对应的f数值公式比2xN复杂太多。我们需要换个角度来思考推导公式。

在我们放置骨牌的过程中，一定是放好一行之后再放置下一行。根据摆放的方式，可能会产生很多种不同的形状，而这些形状之间是否具有某些递推关系呢？
如果他们存在一定的递推关系，则我们可以根据第i行的方案数来推导第i+1行的方案数。这样一行一行推导，直到第N行时不就得到了我们要求的方案数了么？
那么来研究一下是否存在这样的推导公式吧

假设我们已经放好了一些骨牌，对于当前最后一列(第i列)骨牌，可能有8种情况：

对于上面这8种状态，我们用数字来标记它们。以有放置骨牌的格子为1，未放置为0，转化为2进制数
以最下面一行作为1，则有：

接下来考虑如何放置骨牌，我们先将棋盘旋转一下。假设我们正在放置第i行的骨牌，那么会有下面3种方式：

灰色表示已经有的骨牌，绿色表示新放置的骨牌。
每一种放置方法解释如下，假设当第i行的状态为x，第i-1行的状态为y：

  • 第i行不放置，则前一行必须有放置的骨牌。x对应二进制位为0，y对应二进制位为1。
  • 第i行竖放骨牌，则前一行必须为空。x对应二进制位为1，y对应二进制位为0。
  • 第i行横向骨牌，则前一行必须两个位置均有骨牌，否则会产生空位。x对应二进制位为1，y对应二进制位为1。

举个例子：

对于第i行状态1，我们在第i+1行竖放两块骨牌之后便能到达状态6。
但是在这之中需要注意会出现下面这种情况：

这种情况看似是从状态1变成了状态0，其实是不对的。它不满足我们约定的放置方法，本质是第i行的状态1变成了第i行的状态7，而实际上我们应该放置的是第i+1行。
所以在枚举递推关系的时候一定要注意。
通过枚举8种状态到8种状态的转移，我们可以得到一个8x8的矩阵M（空白的地方均为0）：

m[i][j]表示从状态i变成状态j的方案数。

现在我们有了M矩阵，接下来考虑边界情况。
在2xN的骨牌覆盖中，有(0, 1)作为初始向量A，那么在3xN中初始向量A是如何呢？
让我们先想想A向量所代表的含义。M矩阵表示状态到状态的转移，则A向量所表示的应该就是第0行各状态的方案数。
同理，对于A * M^n所求出的结果则应该表示为第n行各种状态的方案数。
那么A向量应该是多少呢？很显然，第0行在我们递推的过程中必须看作状态7才合理。故A向量表示为：
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1}
而对于我们寻求的答案，自然也是第n行放置为状态7的方案数了。

输入

第1行：1个整数N。表示棋盘长度。1≤N≤100,000,000

输出

第1行：1个整数，表示覆盖方案数 MOD 12357

样例输入
62247088
样例输出
4037
以下是AC的代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
//#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
const int mod = 12357;
void matrixMultiply(int a[8][8], int b[8][8], int c[8][8]){
    int r[8][8];
    for(int i = 0; i < 8; i++){
        for(int j = 0; j < 8; j++){
            int sum = 0;
            for(int k = 0; k < 8; k++){
                sum += a[i][k] * b[k][j];
            }
            r[i][j] = sum % mod;
        }
    }
    for(int i = 0; i < 8; i++){
        for(int j = 0; j < 8; j++){
            c[i][j] = r[i][j];
        }
    }
}
int solve(int n){
    if((n & 1) == 1) return 0;
    if(n == 2) return 3;
    int M[8][8];
    memset(M, 0, sizeof(M));
    M[0][7]=M[1][6]=M[2][5]=M[3][4]=M[4][3]=M[5][2]=M[6][1]=M[7][0]=1;
    M[3][7]=M[6][7]=M[7][3]=M[7][6]=1;
    int r[8][8];
    memset(r, 0, sizeof(r));
    //printf("%d\n", sizeof(r));
    r[0][0]=r[1][1]=r[2][2]=r[3][3]=r[4][4]=r[5][5]=r[6][6]=r[7][7]=1;
    while(n > 1){
        if(n & 1) matrixMultiply(r, M, r);
        matrixMultiply(M, M, M);
        n >>= 1;
    }
    matrixMultiply(r, M, r);
    return r[7][7];
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d\n", solve(n));
    return 0;
}