[LeetCode] 123. 买卖股票的最佳时机 III

题目链接 : https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

题目描述:

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例:

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1] 
输出: 0 
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

思路:

动态规划

dp[k][i]到第i天经过k次交易得到最大的利润.

动态方程: dp[k][i] = max(dp[k][i], dp[k-1][j-1] + prices[i] - prices[j]) 0 <=j <= i

def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices: return 0
        n = len(prices)
        dp = [[0] * n for _ in range(3)]
        for k in range(1, 3):
            for i in range(1, n):
                dp[k][i] = max(prices[i] - prices[0], dp[k][i-1])
                for j in range(1, i + 1):
                    dp[k][i] = max(dp[k][i],  dp[k - 1][j - 1] + prices[i] - prices[j])
        #print(dp)
        return dp[-1][-1]

但是最后一个测试用例过不了, 看了大佬的题解, 有一个小技巧技术 把dp[k-1][j-1] - prices[j]看成一个整体, 因为j独立与i,可以减少最内侧的循环.换句话说,就是先求dp[k-1][j-1] - prices[j]最大值, 再求+ prices[i]的最大值, 先看简单版本.

    def maxProfit(self, prices):
        if not prices: return 0
        n = len(prices)
        dp = [[0] * n for _ in range(3)]
        for k in range(1, 3):
            for i in range(1, n):
                # 处理边界情况 j == 0
                pre_max = -prices[0]
                for j in range(1, i + 1):
                    pre_max = max(pre_max, dp[k - 1][j - 1] - prices[j])
                dp[k][i] = max(dp[k][i - 1], prices[i] + pre_max)
        return dp[-1][-1]

时间复杂度还是 \(O(n^2)\)还是过不了, 可以改写成

    def maxProfit(self, prices):
        if not prices: return 0
        n = len(prices)
        dp = [[0] * n for _ in range(3)]
        for k in range(1, 3):
            pre_max = -prices[0]
            for i in range(1, n):
                pre_max = max(pre_max, dp[k - 1][i - 1] - prices[i])
                dp[k][i] = max(dp[k][i - 1], prices[i] + pre_max)
        return dp[-1][-1]

时间复杂度为\(O(n)\)