Heap & Heap Sort
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What is a heap？
首先介绍优先队列：
Heap（堆）是对优先队列的一种实现
每个元素都有对应的key值，且对于大顶堆（Max Heap）而言，其每个元素的key值都 ≥ 子元素的key值
堆可以可视化为一棵完全二叉树：
堆对应的树具有如下性质：（这里层数从0开始）
别忘了之前讲过的完全二叉树的性质：n个结点的完全二叉树高度为 lgn
Max_heapify
max_heapify() 只针对具有 “简单错位” 的堆进行调整，single violation是这里特别强调的一个前提条件
当左右子树均为大顶堆时，显然 left(i) 和 right(i)已经是除开i之外最大的两个数，因此如果 i 比left(i) 和 right(i)还要大，那么以 i为根的树已经是大顶堆；
否则只需比较 i , left(i) 和 right(i) ，将 i 与 max(left(i), right(i))交换位置，这样使得根节点保存最大值，这时三个结点中只有“下沉一层”后的结点 i 不确定是否到达了正确位置
但此时对于 i 而言，其新的左右子树同样是大顶堆，满足 single_violation的假设，因此只需再次对 i 调用max_heapify() 直至整棵树成为大顶堆
===tips：过程图示见末尾 ===
Pre_Condition
注意这里有个重要假设：
- 当对以 i 为根的子树进行 max_heapify() 操作时，结点 i 的左右子树均已经是大顶堆 ！
- 因此问题在于： 结点 i 并不是最大值却被放在了 level (lgn - 1) 层上（假设叶子为 level 0，从下往上数）。
那么 max_heapify() 的职责就很显然了：将最上面的结点 i 下沉到正确的位置。
显然影响运行时长的因素在于 i 子树的层数，假设 i 子树深为 lgn，那么max_heapify() 的时间复杂度为O(lgn)
Build_Max_Heap(A)
我们已经知道 max_heapify() 严格要求了左右子树必须为大顶堆，那么对于一个完全乱序的数组A，显然直接调用max_heapify(A)是不允许的，这时要如何将其转换为大顶堆呢？
Algo
Build_Max_Heap(A)将通过多次调用 max_heapify() 将输入A 转换成一个大顶堆：
由于叶子结点没有child，其本身已经是一个大顶堆，满足 single violation
所以我们可以跳过最下层的叶子，从 level 1 开始调用 max_heapify()
（level 1 为叶子结点之上的一层，即倒数第二层）
wait a moment：这里解释一下为什么要从下往上处理：
前面提到了使用 max_heapify() 的前提条件是左右子树已经为大顶堆，因此在倒数第二层调用显然是符合要求的（因为level 1中所有结点的左右子树均已经为大顶堆）
那么在这一层处理完毕后，所有“从level 1长出的子树均被调整为了大顶堆”，也就满足了接下来在level 2中调用max_heapify()的前置条件，以此类推...
接下来继续 Build_Max_Heap(A)的算法思路
我们已经解释了为何循环要从下至上处理，
即 for n/2 downto 1：
不难看出，对于level 1的所有结点，最坏情况下的调整时间也只是O(1)
随着level向上增高，对level L层的结点进行max_heapify操作需要O(L)时间
最上层只有一个根结点，对它的调整需要O(lgn) ---(Tips: 复杂度源于)
将各层所需调整时间加起来可以得到整个算法的时间复杂度为O(n) ，步骤如下：
（括号内为一个收敛级数且收敛为常数）
Build-Max-Heap Demo
给出一个乱序数组 A，通过 Build_Max_Heap(A)将其转化为大顶堆的步骤分解如下：
Heap_Sort
思路步骤：
- 首先将A转化为大顶堆
- 找到最大值，显然为 A[1]
- 将最大值与末尾元素交换，并将A[1]从堆中舍弃（数组length--）
- 对新的大小为 n-1的堆调用max_heapify方法将其调整为大顶堆（因为上一步中已经舍弃了最大值A[1]，此时显然满足single violation的前提条件）
- 回到步骤2重复操作直到堆减为空，排序完毕
时间复杂度：
整个算法的开头需要调用一次建立Build-Max-Heap(A) ， --- O(n)
此后开始n次迭代： (第一次迭代确定了最大值，第二次确定次大值， ... ，n个数排序完毕需要迭代n次)
每次迭代包括一次swap操作和max_heapify() ---O(lgn)
因此总的时间复杂度为 O(n + nlgn) = O(nlgn)
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@ max_heapify() 的步骤解析：
