Insertion Sort & Merge sort

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Insertion sort

Attempt#1

每次将元素A[j]插入它之前的有序序列A[1 .. j-1]中，插入方式是与前一个相邻元素两两比较并交换直到到达正确位置

Complexity

显然复杂度主要来自于 compare 和 swap ：

平均情况下，比较和交换均需要 Θ（n2），虽然可以通过binary search将比较部分改进为 Θ（nlogn），但由于交换采用相邻元素两两交换的方式，整个算法复杂度仍然为 Θ（n2 + nlogn）= Θ（n2）

下面考虑另一种排序方式：归并排序

Merge sort

Algo

=== devide&conquer ===

将数组A一分为二得到数组L和R

将L和R排序得到L‘和R’

合并L‘和R’得到排序后的数组A‘

递归执行...

方法merge（Elem[] L', Elem[] R'）应接收两个已排序的数组 L’ 和 R‘

“合并”的过程需要设置两个工作指针，分别指向L’和R‘中待处理的元素，每确定一个元素位置则将指针向后移一位

merge的复杂度取决于工作指针的移动次数，假如某个数组（不妨以R’为例）的所有元素都比左边的最小值小，则左边数组工作指针不会移动，直到右侧工作指针扫描完整个R’。此时只需将左侧数组直接”连接“到R‘后即可得到结果，总共耗费 Θ（n/2）。

最坏的情况可见是左右工作指针交替移动直到遍历完所有元素，这时的时间复杂度为Θ（n）。

Complexity

设对长度为n的数组进行归并排序的时间复杂度为T(n)，不难得出下列递推关系：
$$
T(n) = C_1 + 2.T(n/2) + C.n
$$
C1表示devide需要常数时间，C.n表示merge需要Θ(n)，T(n/2)为对子数组归并排序（recursion）的耗时

现在来求解上面的递归式（recurrence solving）：

因为有C.n在可以忽略常数项C1，即有
$$
T(n) = 2.T(n/2) + C.n
$$
从确定项C.n开始展开，T(n) = C.n + 2.T(n/2) = C.n + ( 2.( C.n/2 + 2(C.n/4 + T(n/4)) ) ) = ...

recursive tree如下：

可见全部展开后T(n)就等于所有结点值的和：
$$
T(n) = (1+log_2n).C.n = Θ(nlgn)
$$

Auxiliary space

现在考虑 merge sort 的空间复杂度，由于 merge() 需要接收两个有序数组 L’ 和 R‘ ,因此需要2*n/2 = n的辅助空间存放排序后的子数组 L’ 和 R‘，空间复杂度为 Θ(n)

可以看出 insertion sort 虽然在时间复杂度上表现不如 merge sort，但却在空间复杂度上却略胜一筹，其仅需要一个变量 temp 来辅助元素的两两交换，其空间复杂度为 Θ(1)，我们称其为 原地工作

Tree for different recurrence

使用递归树可以更容易地看出算法所需时间 T(n)，假设如下两个递归式，求算法的时间复杂度：

#1

计算过程：
$$
T(n) = C(1+2+4+\ ...\ +n/2+n ) = Cn(1+1/2+1/4+...)=Θ(n)
$$

#2

计算过程：
$$
T(n) = Cn^{2(1+1/2+1/4+...)=Θ(n}2)
$$