堆

　　堆是一种特殊的完全二叉树（完全二叉树_百度百科），根据堆中父节点值和左右儿子节点值的大小关系，主要分为两类：大根堆和小根堆。大根堆是父节点的值总是比左右儿子节点的值大，反之为小根堆。

　　当我们需要求一组值中某个最大值或者最小值时，可以通过遍历一次这组值，时间复杂度为O(N)，这时我们就可以使用堆来优化这个过程，堆优化后的时间复杂度为O(logN)。因为很显然的是，我们可以发现，小根堆堆顶为堆中最小元素，大根堆堆顶为堆中最大元素

　　为了保证堆的特性，我们时常需要维护一个堆，常用操作包含上浮和下沉两种。以小根堆为例：假如有一个小根堆，现在新增一个元素被放在堆顶，如果此时不符合小根堆的特性，可以通过不断进行下沉操作，使得其重新变成一个小根堆。

　　我们使用一个一维数组来存储堆中的值，如下：

const int MAX = 1001;
int h[MAX];

　　

　　下面来介绍下沉操作的步骤：

　　1、传入待下沉的节点编号now。

　　2、判断now是否有左儿子，即判断now * 2 <= n，如果是，进一步判断h[now]和h[now * 2]的大小关系是否符合最小堆的特性，如果不符合则标记需要交换h[now]和h[now * 2]中值的位置，同时进入步骤3；如果否，则下沉结束调整完毕。

　　3、判断now是否有右儿子，即判断now * 2 + 1 <= n，如果是，进一步判断h[now]和h[now * 2 + 1]的大小关系是否符合最小堆的特性，如果不符合则标记需要交换h[now]和h[now * 2 + 1]中值的位置。

　　4、重复步骤2、3直到整体符合最小堆的特性。

　　接下来介绍上浮操作的步骤：

　　1、传入待上浮的节点编号now。

　　2、判断now是否为最终的根节点，即判断now == 1，如果是，则说明上浮完成。如果否，进入步骤3。

　　3、进一步判断h[now]和h[now / 2]的值的大小关系是否符合最小堆的特性，如果不符合则交换h[now]和h[now * 2 ]中值的位置，将now上浮为now / 2，即 now = now / 2。

　　4、重复步骤2、3。

　　下沉、上浮操作实现如下(p为堆中元素数量)：

void swap(int a, int b) {
    int tmp = heap[a];
    heap[a] = heap[b];
    heap[b] = tmp;
}

void up(int now) {
    while((now != 1) && (heap[now] < heap[now / 2])) {
        swap(now, now / 2);
        now /= 2;
    }
}

void down(int now) {
    int i = now * 2;
    while(i <= p) {
        if((i + 1 <= p) && (heap[i + 1] < heap[i])) {
            i++;
        }
        if(heap[now] > heap[i]) {
            swap(now, i);
            now = i;
            i = now * 2;
        } else {
            break;
        }
    }
}

 　　

　　接下来介绍堆中元素删除与添加的操作。对于添加新元素到堆中，只需要将新元素添加到堆的末尾，再对新元素进行上浮操作；对于删除堆顶元素，只需要将堆顶元素用堆中最后一个元素替换掉，再对新的堆顶进行下沉操作即可。

　　添加、删除操作代码如下：

int del() {
    int t = h[1];
    h[1] = h[p];
    p--;
    down(1);
    return t;
}

int add(int i) {
    p++;
    h[p] = i;
    up(p);
}

 

 

 

 

 　　圆满结束。