2025.2.15 noip模拟赛

T1

题目大意：

有一个互不相同数组，现请你找出一对整数 $x,d$，使得能找到一个长度为 n 的排列 p，使得 $a_{p_i}=((i-1)\times d+x)\mathrm{mod}m$，输出任意一组解即可。
$n\le {10}^5，m\le {10}^9+7$, $m\in p$，$0\le a_i<m$。

解题思路：

首先考虑当 $2\times n\le m$ 时，任意找一对整数，设他们差是 $kd$，其中 d 为公差，那么考虑快速求出 k。
考虑 $a_i$ 中只有 $n-k$ 对整数满足差值为 $kd$，所以这样就能快速地求出 k。
但当 $2\times n>m$ 时，这是错的。
因为我们可能会出现整数 $i$, 假设他们在最终的序列里的位置为 $x$。
那么可能会出现 $v_{(x+k)\mathrm{mod}m}=v_{(x-k)\mathrm{mod}m}$ 的情况，因为 $kd$ 的上界是 n-1 的，所以可能会有 $(2\times n-2)\mathrm{mod}m\equiv 0$ 的情况。

但这种情况直接取反集即可。
因为 $(m-n)\times m$。

总结：
感觉挺需要脑洞的。
下次看到这种类型的题，可以先找一下有什么性质。
就比如 m 是质数，就能保证 $gcd(kd,m)$ = 1。
然后枚举其实也可以不用特别呆板。
可以枚举类似乘积的东西，然后考虑其中一个因子有什么性质。

T2

题目大意：

给定一个 $n$，求长度为 $n$ 的排列中有多少逆序对数为 $n$。
$n\le {10}^5$。

解题思路：

先考虑暴力 dp。
$d{p}_{i,j}$ 表示长度为 $i$ 的排列，逆序对为 $j$ 的方案数。

然后发现转移就可以抽象成：
求有多少长度为 $n$ 的数组 $a$，使得 $a_i<i$，且 $a$ 之和为 $n$。
由于要求 $a_i<i$ 这种条件比较难搞，所以我们可以改成容斥原理，枚举集合 $S$，强定 $S$ 不满足条件。
那么设 $d{p}_{i,j}$ 表示 $a_x=x$ 的个数有 i 个，和为 j。
那么有两种转移：

1. $d{p}_{i,j}=>d{p}_{i+1,j+1+i}$
2. $d{p}_{i,j}=>d{p}_{i,j+i}$

可以证明这是可以全部转移到的。
第一个转移的意思就是新加进一个不合法的数字，由于要求不一样，所以要将其他的+1。
第二个转移就是直接整体 +1。

所以这样是 $O(n^{1.5})$ 的，因为 $i$ 为 $n^{0.5}$ 级别。
总结：
挺套路的，但感觉这种不好直接对限制做 dp 可以通过容斥将问题转化的更简单。

T3

题目大意：

给定一个 n 个点，m 个边的图。
保证了 $u-v\le k,k\le 5$ 然后有 q 个询问，每个询给定 $l,r$，问你只保留 $l\sim r$ 的点时有多少联通块。
$n,q\le {10}^5$

赛时思路：

就是考虑暴力分块，当块长足够大时，那么只有相邻两个块才会有交集。
所以时间复杂度就是 $O(n^{1.5}\times k^2\log n)$。
卡不过去...

解题思路：

考虑在线不好做，那么离线考虑。
由于合并一次时间复杂度是 $O(k\log n)$ 起步的，然后莫队自带了 $O(n^{1.5})$，想不删除还得大常数回滚莫队，基本没有前途。

考虑猫树，预处理出 $mid+1\sim r$ 的联通块个数以及 $mid+1\sim mid+k$ 的并查集的状态。

时间复杂度：$O(q\times lo{g}_n\times k^2)$。
路径压缩的常数。

总结：
分块的优势在于能够比较慢地支持修改以及一些复杂地查询，不过时间复杂度较高，得先确定没有更优地算法再写。